Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất là:
A. M(-1;1;5)
B. M(1;-1;3)
C. M(2;1;-5)
D. M(-1;3;2)

Gọi điểm I(x;y;z) thỏa \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 0\) thì I là trung điểm của AB và \(I(3;3;3)\)
Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\)
\(= I{A^2} + I{B^2} + 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} )\)
\(= I{A^2} + I{B^2} + 2M{I^2}\)
\(IA^2 + IB^2\) không thay đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
(P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{(P)}=(2;1;-1)\)
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Ta có phương trình của d là:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\)
M là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 3 - t\\ 2x + y - z + 6 = 0 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow t = 2 \Rightarrow M( - 1;1;5)\)