Trong không gian ${O x y z}$, cho đường thẳng ${d: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}}$ và mặt phẳng ${(P): x+2 y+z-4=0}$. Hình chiếu v

Trong không gian ${O x y z}$, cho đường thẳng ${d: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}}$ và mặt phẳng ${(P): x+2 y+z-4=0}$. Hình chiếu vuông góc của ${d}$ lên ${(P)}$ là đường thẳng có phương trình:
${\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}}$.
${\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}}$.
${\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}}$.
${\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}}$.

Ta có: ${d \cap(P)=\{A\} \Rightarrow A(0 ; 1 ; 2)}$.
Lấy ${M(2 ; 3 ; 0) \in d}$.
Gọi ${\Delta}$ là đường thẳng qua ${M}$ và vuông góc với ${(P)}$ khi đó ${\Delta: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z}{1}}$.
Gọi ${\{H\}=\Delta \cap(P) \Rightarrow H(2+t ; 3+2 t ; t)}$.
Mặt khác ${H \in(P) \Rightarrow(2+t)+2(3+2 t)+t-4=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow H\left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} ;-\dfrac{2}{3}\right) \Rightarrow \overrightarrow{A H}\left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{-8}{3}\right)}$.
Gọi ${d\prime }$ là hình chiếu của ${d}$ lên ${(P)}$ khi đó ${d\prime }$ đi qua ${A}$ và có một VTCP ${\vec{u}(2 ; 1 ;-4)}$
${\Rightarrow d\prime : \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4} .}$