\(x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x - 1}} + 4x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{2^{x - 1}} - x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ {2^{x - 1}} - x = 0(*) \end{array} \right.\)
Xét hàm số \(f(x) = {2^{x - 1}} - x\) trên ℝ.
Ta có: \(f'(x) = {2^{x - 1}}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\)
\(\begin{array}{l} f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < {x_0}\\ f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > {x_0} \end{array}\)
Nên phương trình f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trong khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) và 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\).
Mà f(1)= f(2)=0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7
