Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3 đạt cực tiểu tại x=1.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3 đạt cực tiểu tại x=1.
A. \(m = 0\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = -2\)
D. \(m = \frac{3}{2}\)

\(y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3\)
\(\begin{array}{l} y' = 3m{x^2} - 2({m^2} + 1)x + 2\\ y'' = 6mx - 2({m^2} + 1) \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m - 2({m^2} + 1) + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\)
Với m=0:
\(y''(1) = - 2 < 0\)
Vậy m=0 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m = \frac{3}{2}\):
\(y''(1) = \frac{5}{2} > 0\).
Thử lại ta thấy với \(m = \frac{3}{2}\) hàm số đạt cực tiểu tại x=1.