\(y = mx - \left( {m + 1} \right)\cos x \Rightarrow y' = m + \left( {m + 1} \right)\sin x\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)thì \(y' \ge 0\) với mọi m khi \(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0\)với điều kiện y’=0 tại một số hữu hạn điểm.
\(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sin x \ge - m\)
+ Với \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1,\) ta có: \(Sinx \ge - \frac{m}{{m + 1}}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m > - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy không tồn tại giá trị m>-1 thỏa yêu cầu bài toán (1)
+ Với \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1,\) ta có: \(Sinx \le - \frac{m}{{m + 1}}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m < - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy không tồn tại m<- thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với m=-1, hàm số trở thành: y=x, không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Vậy không có m thỏa yêu cầu bài toán.
