Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực.
A. \(z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
B. \(z = 1 + 2i.\)
C. \(z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i.\)
D. \(z = 1 - 2i.\)

Gọi \(z = x + yi.\)
\(\begin{array}{l}\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right) = \left( {x + yi - 2} \right)\left( {x - yi + 2i - 1} \right)\\ & & \,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - y\left( {2 - y} \right) + \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y} \right]i\end{array}\)
\(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - 2{\rm{x}}\)
Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} + 16} = \sqrt {5{{\left( {x - \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
\({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = \frac{8}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} \Rightarrow z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)