Tìm \(\left| {{z_0}} \right|\)

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3,\) gọi \(z_0\) là số phức có môđun lớn nhất. Tìm \(\left| {{z_0}} \right|\)
A. \(\left| {{z_0}} \right| = 3\)
B. \(\left| {{z_0}} \right|=4\)
C. \(\left| {{z_0}} \right|=5\)
D. \(\left| {{z_0}} \right|=8\)

Gọi \(z = x + yi;\) Khi đó \(z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i\) khi đó: \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {y - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {4; - 3} \right);R = 3.\)
Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 3\sin t + 4}\\ {y = 3\cos t - 3} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2}\)
\(= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34\)
\(= 24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30\) (BĐT Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8.\)