Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức \(z\)

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức \(z\).
A. \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\)
B. \(\left| z \right| = \frac{1}{\sqrt2}\)
C. \(\left| z \right| = \sqrt2\)
D. \(\left| z \right| = 2\)

Gọi số phức cần tìm là \(z = a + bi(a,b \in\mathbb{R} ).\)
Khi đó từ giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l} \left| {a + bi + i + 1} \right| = \left| {a - bi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b + 1)^2} = {a^2} + {(b + 2)^2}\\ \Leftrightarrow 2a - 2b - 2 = 0\\ a = b + 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {(b + 1)^2} = 2{b^2} + 2b + 1 \ge \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left| z \right| \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)