Học lớp hướng dẫn giải
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\), khi đó \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2y + 1\)
Ta có \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 5} = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
\({\left( {\sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2 + 2y - 2x + 6 + 2x - 2y} \right) = 16\)
Do đó \(M = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \le \sqrt {16} = 4 \Rightarrow {M_{\max }} = 4.\)
