Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|.\)

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|.\)
A. \(\max T = 8\sqrt 2 \)
B. \(\max T = 4\)
C. \(\max T = 4\sqrt 2 \)
D. \(\max T = 8\)

Đặt \(z = x + yi\). Ta có: \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 2\)
Khi đó: \(T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {x + yi + i} \right| + \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)
\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left[ {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]} \)
\( = \sqrt {2\left( {2{x^2} - 4x + 4 + 2{y^2} + 2} \right)} = \sqrt {2\left( {2.\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right) + 4} \right)} = \sqrt {2.\left( {4 + 4} \right)} = 4\)
Vậy \(\max T = 4.\)