Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: $4{z^2} + 8|z{|^2} - 3 = 0$ là:
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
Gọi $z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là nghiệm của phương trình. Ta có:
$\begin{array}{l}4{\left( {a + bi} \right)^2} + 8\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right) + 8\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 12{a^2} + 4{b^2} + 8abi - 3 = 0\end{array}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{a^2} + 4{b^2} = 3\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + {b^2} = 1\\ab = 0\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + 4ab + {b^2} = 1\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2a + b} \right)^2} = 1\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = \pm \frac{1}{4}\\b = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
Vậy phương trình có 4 nghiệm phức
Ta chọn đáp án A.
$\begin{array}{l}4{\left( {a + bi} \right)^2} + 8\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right) + 8\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 12{a^2} + 4{b^2} + 8abi - 3 = 0\end{array}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{a^2} + 4{b^2} = 3\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + {b^2} = 1\\ab = 0\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + 4ab + {b^2} = 1\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2a + b} \right)^2} = 1\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = \pm \frac{1}{4}\\b = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
Vậy phương trình có 4 nghiệm phức
Ta chọn đáp án A.