A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình mũ cơ bản \({a^x} = b{\rm{ }}\left( {a > 0,{\rm{ }}a \ne 1} \right)\).
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$.
3. Đặt ẩn phụ
$f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {a^{g\left( x \right)}} > 0}\\ {f\left( t \right) = 0} \end{array}} \right.$
Ta thường gặp các dạng:
Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Tương tự với bất phương trình dạng: $\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.$
Đặt ẩn phụ.
Sử dụng tính đơn điệu:
Câu 1. Cho phương trình \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9\) tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:
A. 28.
B. 27.
C. 26.
D. 25.
Câu 2. Cho phương trình : \({3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2{\rm{x}} - 1}}\) , khi đó tập nghiệm của phương trình là:
A. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\frac{{ - 5 - \sqrt {61} }}{2};\frac{{ - 5 + \sqrt {61} }}{2}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {61} }}{2};\frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}} \right\}\)
D. \(S = \left\{ { - 2; - 5} \right\}\).
Câu 3. Phương trình ${3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}$có bao nhiêu nghiệm âm?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 0.
Câu 4. Số nghiệm của phương trình ${9^{\frac{x}{2}}} + 9.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{2x + 2}} - 4 = 0$ là:
A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. 0.
Câu 5. Cho phương trình : ${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{{\rm{x}}^2} - 1}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 6. Phương trình ${2^{8 - {x^2}}}{.5^{8 - {x^2}}} = 0,001.{\left( {{{10}^5}} \right)^{1 - x}}$ có tổng các nghiệm là:
A. 5.
B. 7.
C. - 7.
D. – 5 .
Câu 7. Phương trình ${9^x} - {5.3^x} + 6 = 0$ có nghiệm là:
A. \(x = 1,x = {\log _3}2\).
B. \(x = - 1,x = {\log _3}2\).
C. \(x = 1,x = {\log _2}3\).
D. \(x = - 1,x = - {\log _3}2\).
Câu 8. Cho phương trình \({4.4^x} - {9.2^{x + 1}} + 8 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích \({x_1}.{x_2}\) bằng :
A. -2 .
B. 2.
C. - 1.
D. 1.
Câu 9. Cho phương trình \({4^x} - {4^{1 - x}} = 3\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Phương trình vô nghiệm.
B. Phương trình có một nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: \({4^{2{\rm{x}}}} - {3.4^x} - 4 = 0\).
Câu 10. Cho phương trình \({9^{{x^2} + x - 1}} - {10.3^{{x^2} + x - 2}} + 1 = 0.\) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:
A. -2 .
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Câu 11. Nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{x + 1}} = {3^x} + {3^{x + 1}}\) là:
A. \(x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}\).
B. x = 1.
C. x = 0.
D. \(x = {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{2}{3}\).
Câu 12. Nghiệm của phương trình \({2^{2x}} - {3.2^{x + 2}} + 32 = 0\) là:
A. \(x \in \left\{ {2;3} \right\}\).
B. \(x \in \left\{ {4;8} \right\}\).
C. \(x \in \left\{ {2;8} \right\}\).
D. \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).
Câu 13. Nghiệm của phương trình \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\) là:
A. \(x \in \left\{ {1; - 1} \right\}\).
B. \(x \in \left\{ {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right\}\).
C. \(x \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).
D. \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Câu 14. Nghiệm của phương trình \({12.3^x} + {3.15^x} - {5^{x + 1}} = 20\) là:
A. \(x = {\log _3}5 - 1\).
B. \(x = {\log _3}5\).
C. \(x = {\log _3}5 + 1\).
D. \(x = {\log _5}3 - 1\).
Câu 15. Phương trình ${9^x} - {5.3^x} + 6 = 0$ có tổng các nghiệm là:
A. \({\log _3}6\) .
B. \({\log _3}\frac{2}{3}\) .
C. \({\log _3}\frac{3}{2}\) .
D. \( - {\log _3}6\) .
Câu 16. Cho phương trình ${2^{1 + 2x}} + {15.2^x} - 8 = 0$, khẳng định nào sau dây đúng?
A. Có một nghiệm.
B. Vô nghiệm.
C. Có hai nghiệm dương.
D. Có hai nghiệm âm.
Câu 17. Phương trình ${5^x} + {25^{1 - x}} = 6{\rm{ }}$có tích các nghiệm là :
A. ${\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
B. ${\log _5}\left( {\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
C. 5.
D. $5{\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
Câu 18. Phương trình \({\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 6\) có nghiệm là:
A. \(x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\).
B. \(x = {\log _2}3\).
C. \(x = {\log _2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).
D. x = 1.
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32\) là:
A. \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right)\).
B. \(x \in \left( { - \infty ;5} \right)\).
C. \(x \in \left( { - 5; + \infty } \right)\).
D. \(x \in \left( {5; + \infty } \right)\).
Câu 20. Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^{2x}}{.3^{{{\sin }^2}x}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x\ln 4 + {\sin ^2}x\ln 3 < 0$.
B. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow 2x + 2\sin x{\log _2}3 < 0$.
C. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x{\log _3}2 + {\sin ^2}x < 0$.
D. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow 2 + {x^2}{\log _2}3 < 0$.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x - 1}}\)
A. \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\).
B. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
C. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\).
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^x} > {3^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}$ là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$.
B. x < - 2.
C. - 1 < x < 0.
D. $ - 1 \le x < 0$.
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình \({16^x} - {4^x} - 6 \le 0\)là
A. \(x \le {\log _4}3.\)
B. \(x > {\log _4}3.\)
C. \(x \ge 1.\)
D. \(x \ge 3\)
Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\) là:
A. \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.\).
B. \(x > {\log _3}2\).
C. \(x < 1\).
D. \({\log _3}2 < x < 1\).
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\) là:
A. \( - 6 \le x \le 3.\)
B. x < - 6.
C. x > 3.
D. \(\emptyset \).
Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\) là:
A. \( - 1 < x \le 1.\)
B. \(x \le - 1.\)
C. x > 1.
D. 1 < x < 2.
Câu 27. Cho bất phương trình ${\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{2{\rm{x}} - 1}}$, tập nghiệm của bất phương trình có dạng \(S = \left( {a;b} \right)\). Giá trị của biểu thức \(A = b - a\) nhận giá trị nào sau đây?
A. 1.
B. - 1.
C. 2.
D. - 2.
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^x} + 2 > 0\) là:
A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(x \in \left( {0;1} \right).\)
D. \(x \in \left( {1;2} \right).\)
Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x}{.2^{x + 1}} \ge 72\) là:
A. \(x \in \left[ {2; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right].\)
Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0\) là:
A. \(x \in \left( {0; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left( {1; + \infty } \right).\)
C. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right).\)
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{{2.3}^x} - {2^{x + 2}}}}{{{3^x} - {2^x}}} \le 1\) là:
A. \(x \in \left( {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right].\)
B. \(x \in \left( {1;3} \right).\)
C. \(x \in \left( {1;3} \right].\)
D. \(x \in \left[ {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right].\)
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{\frac{1}{x}}} \le {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^3}$ là:
A. $\left( {0;\frac{1}{3}} \right].$
B. $\left( {0;\frac{1}{3}} \right).$
C. $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right].$
D. $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right] \cup \left( {0; + \infty } \right).$
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x}$ là:
A. \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 2\end{array} \right..\)
B. x < 0.
C. x > 2.
D. 0 < x < 2.
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{\sqrt x }} - {2^{1 - \sqrt x }} < 1$ là:
A. $ - 1 \le x{\kern 1pt} \le 1.$
B. \(\left( { - 8;0} \right).\)
C. \(\left( {1;9} \right).\)\(\)
D. \(\left( {0;1} \right].\)
Câu 35. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \({4^{{x^2} - 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{2{x^2} + 3x + 7}} + 1\).
A. \(x \in \left\{ { - 5; - 1;1;2} \right\}.\)
B. \(x \in \left\{ { - 5; - 1;1;3} \right\}.\)
C. \(x \in \left\{ { - 5; - 1;1; - 2} \right\}.\)
D. \(x \in \left\{ {5; - 1;1;2} \right\}.\)
Câu 36. Phương trình \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^x}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 37. Phương trình \({3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} \right) - {4.3^x} - 5 = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 38. Phương trình ${2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}}$ có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\) , hãy chọn phát biểu đúng?
A. \(3{x_1} - 2{x_2} = {\log _3}8\).
B. \(2{x_1} - 3{x_2} = {\log _3}8\).
C. \(2{x_1} + 3{x_2} = {\log _3}54.\)
D. \(3{x_1} + 2{x_2} = {\log _3}54.\)
Câu 39. Cho phương trình ${\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 6$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
D. Tích của hai nghiệm bằng \( - 6\) .
Câu 40. Phương trình ${3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3}$có tổng các nghiệm là ?
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 4 .
Câu 41. Phương trình ${9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6$ có họ nghiệm là ?
A. $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
B. $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
C. $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
D. $x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
Câu 42. Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = m{\rm{ }}$ có hai nghiệm phân biệt?
A. \(m > 2\).
B. \(m < 2\).
C. \(m = 2\).
D. \(m \le 2\).
Câu 43. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} \right)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1} \) . Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
A. 0.
B. 2.
C. - 2.
D. 1.
Câu 44. Với giá trị của tham số \(m\) thì phương trình \(\left( {m + 1} \right){16^x} - 2\left( {2m - 3} \right){4^x} + 6m + 5 = 0\) có hai nghiệm trái dấu?
A. \( - 4 < m < - 1.\)
B. Không tồn tại \(m\).
C. \( - 1 < m < \frac{3}{2}\).
D. \( - 1 < m < - \frac{5}{6}\).
Câu 45. Cho bất phương trình:$\frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \ge \frac{1}{{5 - {5^x}}}$. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
A. $S = \left( { - 1;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right).$
B. $S = \left( { - 1;0} \right] \cap \left( {1; + \infty } \right).$
C. $S = \left( { - \infty ;0} \right].$
D. $S = \left( { - \infty ;0} \right).$
Câu 46. Bất phương trình \({25^{ - {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ - {x^2} + 2x + 1}} \ge {34.15^{ - {x^2} + 2x}}\) có tập nghiệm là:
A. \(S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {0;2} \right] \cup \left[ {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right).\)
B. \(S = \left( {0; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {1 - \sqrt 3 ;0} \right).\)
Câu 47. Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 2m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1} + {x_2} = 3\)?
A. m = 4.
B. m = 2.
C. m = 1.
D. m = 3.
Câu 48. Với giá trị nào của tham số\(m\) thì bất phương trình \({2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\) có nghiệm?
A. \(m \le 4.\)
B. \(m \ge 4.\)
C. \(m \le 1.\)
D. \(m \ge 1.\)
Câu 49. Cho bất phương trình:\({9^x} + \left( {m - 1} \right){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng \(\forall x > 1\).
A. \(m \ge - \frac{3}{2}.\)
B. \(m > - \frac{3}{2}.\)
C. \(m > 3 + 2\sqrt 2 .\)
D. \(m \ge 3 + 2\sqrt 2 .\)
1. Phương trình mũ cơ bản \({a^x} = b{\rm{ }}\left( {a > 0,{\rm{ }}a \ne 1} \right)\).
- Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0.
- Phương trình vô nghiệm khi \(b \le 0\).
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$.
3. Đặt ẩn phụ
$f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {a^{g\left( x \right)}} > 0}\\ {f\left( t \right) = 0} \end{array}} \right.$
Ta thường gặp các dạng:
- \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0\)
- \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\), trong đó \(a.b = 1\). Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},{\rm{ }}t > 0\), suy ra \({b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}\).
- \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\). Chia hai vế cho \({b^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0\).
- Phương trình ${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1,{\rm{ }}b > 0\\f\left( x \right) = {\log _a}b\end{array} \right.$.
- Phương trình ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b$ hoặc ${\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right).$
- Giải phương trình: \({a^x} = f\left( x \right)\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\). \(\left( * \right)\)
- Xem phương trình \(\left( * \right)\) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y = {a^x}\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\). Khi đó ta thực hiện hai bước:
Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
- Tính chất 1. Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $\left( {a;b} \right)$ thì số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = k$ trên $\left( {a;b} \right)$ không nhiều hơn một và $f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v,$ $\forall u,v \in \left( {a;b} \right)$.
- Tính chất 2. Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên \({\rm{D}}\) thì số nghiệm trên \({\rm{D}}\) của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ không nhiều hơn một.
- Tính chất 3. Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \({\rm{D}}\) thì bất phương trình $f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v{\rm{ }}\left( {{\rm{hoac }}u < v} \right){\rm{, }}\forall u,v \in D$.
- Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).
- Nếu ta đánh giá được \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m\\g\left( x \right) \le m\end{array} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = m\\g\left( x \right) = m\end{array} \right.\).
- Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.
Tương tự với bất phương trình dạng: $\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.$
- Trong trường hợp cơ số$a$có chứa ẩn số thì: ${a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {M - N} \right) > 0$.
- Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
Đặt ẩn phụ.
Sử dụng tính đơn điệu:
- $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên D thì:$f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u < v$
- $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên D thì:$f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u > v$
Câu 1. Cho phương trình \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9\) tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:
A. 28.
B. 27.
C. 26.
D. 25.
Ta có:
\({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \({1^3} + {3^3} = 28\). Chọn đáp án A
\({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \({1^3} + {3^3} = 28\). Chọn đáp án A
A. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\frac{{ - 5 - \sqrt {61} }}{2};\frac{{ - 5 + \sqrt {61} }}{2}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {61} }}{2};\frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}} \right\}\)
D. \(S = \left\{ { - 2; - 5} \right\}\).
\(\begin{array}{l}{3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2{\rm{x}} - 1}}\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {3^{4{\rm{x}} - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 8 = 4{\rm{x}} - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {2;5} \right\}\)
Vậy \(S = \left\{ {2;5} \right\}\)
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 0.
Phương trình tương đương với $\frac{3}{{{3^x}}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}}$.
Đặt \(t = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành $3t = 2 + {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.$.
● Với \(t = 1\), ta được \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
● Với \(t = 2\), ta được \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{3}}}2 = - {\log _3}2 < 0\).
Vậy phương trình có một nghiệm âm.
Đặt \(t = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành $3t = 2 + {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.$.
● Với \(t = 1\), ta được \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
● Với \(t = 2\), ta được \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{3}}}2 = - {\log _3}2 < 0\).
Vậy phương trình có một nghiệm âm.
A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. 0.
Phương trình tương đương với ${3^x} + 9.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} - 4 = 0$
$ \Leftrightarrow {3^x} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^x} + 3.\frac{1}{{{3^x}}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - {4.3^x} + 3 = 0$.
Đặt \(t = {3^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\).
● Với \(t = 1\), ta được \({3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
● Với \(t = 3\), ta được \({3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.
$ \Leftrightarrow {3^x} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^x} + 3.\frac{1}{{{3^x}}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - {4.3^x} + 3 = 0$.
Đặt \(t = {3^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\).
● Với \(t = 1\), ta được \({3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
● Với \(t = 3\), ta được \({3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.
A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{{\rm{x}}^2} - 1}} \Leftrightarrow \left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le - 1 \vee x \ge 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + 3 = 3{{\rm{x}}^2} - 3}\\{7x + 3 = - 3{{\rm{x}}^2} + 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le - 1 \vee x \ge 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \vee x = - \frac{2}{3}}\\{x = 0 \vee x = - \frac{7}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = - \frac{7}{3}}\end{array}} \right.$.
Nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - \frac{7}{3};3} \right\}\).
Vì \( - \frac{7}{3}.3 = - 7 < 0\). Chọn đáp án A
Nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - \frac{7}{3};3} \right\}\).
Vì \( - \frac{7}{3}.3 = - 7 < 0\). Chọn đáp án A
A. 5.
B. 7.
C. - 7.
D. – 5 .
$\begin{array}{l}{\left( {2.5} \right)^{8 - {x^2}}} = {10^{ - 3}}{.10^{5 - 5x}} \Leftrightarrow {10^{8 - {x^2}}} = {10^{2 - 5x}}\\ \Leftrightarrow 8 - {x^2} = 2 - 5x \Leftrightarrow x = - 1;x = 6\end{array}$
Ta có : \( - 1 + 6 = 5\). Chọn đáp án A
Ta có : \( - 1 + 6 = 5\). Chọn đáp án A
A. \(x = 1,x = {\log _3}2\).
B. \(x = - 1,x = {\log _3}2\).
C. \(x = 1,x = {\log _2}3\).
D. \(x = - 1,x = - {\log _3}2\).
Đặt \(t = {3^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}2\\x = 1\end{array} \right.\)
\({t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}2\\x = 1\end{array} \right.\)
A. -2 .
B. 2.
C. - 1.
D. 1.
Đặt \(t = {2^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\(4{t^2} - 18t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \({x_1}.{x_2} = - 1.2 = - 2\). Chọn đáp án A
\(4{t^2} - 18t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \({x_1}.{x_2} = - 1.2 = - 2\). Chọn đáp án A
A. Phương trình vô nghiệm.
B. Phương trình có một nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: \({4^{2{\rm{x}}}} - {3.4^x} - 4 = 0\).
Đặt \(t = {4^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 1(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Chọn đáp án A
\({t^2} - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 1(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Chọn đáp án A
A. -2 .
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Đặt \(t = {3^{{x^2} + x - 1}}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\(3{t^2} - 10t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^{{x^2} + x - 1}} = 3\\{3^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng - 2.
\(3{t^2} - 10t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^{{x^2} + x - 1}} = 3\\{3^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng - 2.
A. \(x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}\).
B. x = 1.
C. x = 0.
D. \(x = {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{2}{3}\).
${2^x} + {2^{x + 1}} = {3^x} + {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {3.2^x} = {4.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}$
A. \(x \in \left\{ {2;3} \right\}\).
B. \(x \in \left\{ {4;8} \right\}\).
C. \(x \in \left\{ {2;8} \right\}\).
D. \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).
\({2^{2x}} - {3.2^{x + 2}} + 32 = 0 \Leftrightarrow {2^{2x}} - {12.2^x} + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 8\\{2^x} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)
A. \(x \in \left\{ {1; - 1} \right\}\).
B. \(x \in \left\{ {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right\}\).
C. \(x \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).
D. \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).
\({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} - 13{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{3}{2}\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{3}{2}\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
A. \(x = {\log _3}5 - 1\).
B. \(x = {\log _3}5\).
C. \(x = {\log _3}5 + 1\).
D. \(x = {\log _5}3 - 1\).
\({12.3^x} + {3.15^x} - {5^{x + 1}} = 20\)\( \Leftrightarrow {3.3^x}\left( {{5^x} + 4} \right) - 5\left( {{5^x} + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 4} \right)\left( {{3^{x + 1}} - 5} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = 5\) \( \Leftrightarrow x = {\log _3}5 - 1\)
\( \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = 5\) \( \Leftrightarrow x = {\log _3}5 - 1\)
A. \({\log _3}6\) .
B. \({\log _3}\frac{2}{3}\) .
C. \({\log _3}\frac{3}{2}\) .
D. \( - {\log _3}6\) .
${9^x} - {5.3^x} + 6 = 0$ $\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^x} - {5.3^x} + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {5.3^x} + 6 = 0{\rm{ }}\left( {1'} \right)$
Đặt $t = {3^x} > 0$. Khi đó: $\left( {1'} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{ }}\left( N \right)\\t = 3{\rm{ }}\left( N \right)\end{array} \right.$
Với $t = 2 \Rightarrow {3^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _3}2$.
Với $t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _3}3 = 1$.
Suy ra \(1 + {\log _3}2 = {\log _3}3 + {\log _3}2 = {\log _3}6\)
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^x} - {5.3^x} + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {5.3^x} + 6 = 0{\rm{ }}\left( {1'} \right)$
Đặt $t = {3^x} > 0$. Khi đó: $\left( {1'} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{ }}\left( N \right)\\t = 3{\rm{ }}\left( N \right)\end{array} \right.$
Với $t = 2 \Rightarrow {3^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _3}2$.
Với $t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _3}3 = 1$.
Suy ra \(1 + {\log _3}2 = {\log _3}3 + {\log _3}2 = {\log _3}6\)
A. Có một nghiệm.
B. Vô nghiệm.
C. Có hai nghiệm dương.
D. Có hai nghiệm âm.
${2^{1 + 2x}} + {15.2^x} - 8 = 0$ $\left( 2 \right)$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2.2^{2x}} + {15.2^x} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2.{\left( {{2^x}} \right)^2} + {15.2^x} - 8 = 0{\rm{ }}\left( {2'} \right)$
Đặt $t = {2^x} > 0$. Khi đó: $\left( {2'} \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + 15t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( N \right)\\t = - 8{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$
Với $t = \frac{1}{2} \Rightarrow {2^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = - 1$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2.2^{2x}} + {15.2^x} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2.{\left( {{2^x}} \right)^2} + {15.2^x} - 8 = 0{\rm{ }}\left( {2'} \right)$
Đặt $t = {2^x} > 0$. Khi đó: $\left( {2'} \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + 15t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( N \right)\\t = - 8{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$
Với $t = \frac{1}{2} \Rightarrow {2^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = - 1$
A. ${\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
B. ${\log _5}\left( {\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
C. 5.
D. $5{\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
${5^x} + {25^{1 - x}} = 6{\rm{ }}\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{{25}^x}}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{{\left( {{5^2}} \right)}^x}}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{{\left( {{5^x}} \right)}^2}}} - 6 = 0{\rm{ }}\left( {6'} \right)$. Đặt $t = {5^x} > 0$.
Khi đó: $\left( {6'} \right) \Leftrightarrow t + \frac{{25}}{{{t^2}}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^3} - 6t + 25 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 5} \right)\left( {{t^2} - t - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5{\rm{ }}\left( N \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}{\rm{ }}\left( N \right)\\t = \frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$
Với \[t = 5 \Rightarrow {5^x} = 5 \Leftrightarrow x = 1\].
Với $t = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow {5^x} = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
Suy ra: \(1.{\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = {\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{{25}^x}}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{{\left( {{5^2}} \right)}^x}}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{{\left( {{5^x}} \right)}^2}}} - 6 = 0{\rm{ }}\left( {6'} \right)$. Đặt $t = {5^x} > 0$.
Khi đó: $\left( {6'} \right) \Leftrightarrow t + \frac{{25}}{{{t^2}}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^3} - 6t + 25 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 5} \right)\left( {{t^2} - t - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5{\rm{ }}\left( N \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}{\rm{ }}\left( N \right)\\t = \frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$
Với \[t = 5 \Rightarrow {5^x} = 5 \Leftrightarrow x = 1\].
Với $t = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow {5^x} = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
Suy ra: \(1.{\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = {\log _5}\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)
A. \(x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\).
B. \(x = {\log _2}3\).
C. \(x = {\log _2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).
D. x = 1.
Đặt \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\)
\({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\)
A. \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right)\).
B. \(x \in \left( { - \infty ;5} \right)\).
C. \(x \in \left( { - 5; + \infty } \right)\).
D. \(x \in \left( {5; + \infty } \right)\).
\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 5}}\)\( \Leftrightarrow x < - 5\)
A. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x\ln 4 + {\sin ^2}x\ln 3 < 0$.
B. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow 2x + 2\sin x{\log _2}3 < 0$.
C. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x{\log _3}2 + {\sin ^2}x < 0$.
D. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow 2 + {x^2}{\log _2}3 < 0$.
$f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{2^{2{\rm{x}}}}{{.3}^{{{\sin }^2}x}}} \right) < \ln 1 \Leftrightarrow x\ln 4 + {\sin ^2}x\ln 3 < 0$
Chọn đáp án A
Chọn đáp án A
A. \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\).
B. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
C. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\).
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
\({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x - 1}}\)\( \Leftrightarrow {3.2^x} \le \frac{4}{3}{.3^x}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \ge \frac{9}{4}\)\( \Leftrightarrow x \ge 2\)
A. $\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$.
B. x < - 2.
C. - 1 < x < 0.
D. $ - 1 \le x < 0$.
Điều kiện: $x \ne - 1$
$pt \Leftrightarrow {3^{ - 2x}} > {3^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}} \Leftrightarrow - 2x > \frac{{2x}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x + 1}} + 2x < 0 \Leftrightarrow 2x\left( {\frac{1}{{x + 1}} + 1} \right) < 0$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$. Kết hợp với điều kiện$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$
$pt \Leftrightarrow {3^{ - 2x}} > {3^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}} \Leftrightarrow - 2x > \frac{{2x}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x + 1}} + 2x < 0 \Leftrightarrow 2x\left( {\frac{1}{{x + 1}} + 1} \right) < 0$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$. Kết hợp với điều kiện$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$
A. \(x \le {\log _4}3.\)
B. \(x > {\log _4}3.\)
C. \(x \ge 1.\)
D. \(x \ge 3\)
Đặt \(t = {4^x}\) (\(t > 0\)), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} - t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 3 \Leftrightarrow 0 < t \le 3 \Leftrightarrow x \le {\log _4}3.\)
\({t^2} - t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 3 \Leftrightarrow 0 < t \le 3 \Leftrightarrow x \le {\log _4}3.\)
A. \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.\).
B. \(x > {\log _3}2\).
C. \(x < 1\).
D. \({\log _3}2 < x < 1\).
\(\frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3 \Leftrightarrow \frac{{{3^x} - 3}}{{{3^x} - 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} > 3\\{3^x} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.\)
A. \( - 6 \le x \le 3.\)
B. x < - 6.
C. x > 3.
D. \(\emptyset \).
\({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} \ge x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\x + 6 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 6 \ge {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6 \le x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\ - 2 \le x \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 6 \le x \le 3\)
A. \( - 1 < x \le 1.\)
B. \(x \le - 1.\)
C. x > 1.
D. 1 < x < 2.
Đặt \(t = {3^x}\) (\(t > 0\)), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
\(\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - 1 > 0\\3t - 1 \le t + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} < t \le 3 \Leftrightarrow - 1 < x \le 1.\)
\(\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - 1 > 0\\3t - 1 \le t + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} < t \le 3 \Leftrightarrow - 1 < x \le 1.\)
A. 1.
B. - 1.
C. 2.
D. - 2.
${\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{2{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 < 2{\rm{x}} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;2} \right)$. Chọn đáp án A
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;2} \right)$. Chọn đáp án A
A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(x \in \left( {0;1} \right).\)
D. \(x \in \left( {1;2} \right).\)
\({4^x} - {3.2^x} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} > 2\\{2^x} < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\)
A. \(x \in \left[ {2; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right].\)
\({3^x}{.2^{x + 1}} \ge 72 \Leftrightarrow {2.6^x} \ge 72\)\( \Leftrightarrow x \ge 2\)
A. \(x \in \left( {0; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left( {1; + \infty } \right).\)
C. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right).\)
\({3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0\)\( \Leftrightarrow {3.9^{\frac{x}{2}}} - {2.16^{\frac{x}{2}}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0\)\( \Leftrightarrow 3. - 2.{\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^{\frac{x}{2}}} - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{x}{2}}} < 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{x}{2}}} > 1\)\( \Leftrightarrow x > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{x}{2}}} > 1\)\( \Leftrightarrow x > 0\)
A. \(x \in \left( {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right].\)
B. \(x \in \left( {1;3} \right).\)
C. \(x \in \left( {1;3} \right].\)
D. \(x \in \left[ {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right].\)
\(\frac{{{{2.3}^x} - {2^{x + 2}}}}{{{3^x} - {2^x}}} \le 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{2.{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 4}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1}} \le 1\) \( \Leftrightarrow \frac{{2.{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 4}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1}} - 1 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 3}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1}} \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \le 3\) \( \Leftrightarrow 0 < x \le {\log _{\frac{3}{2}}}3\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 3}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1}} \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \le 3\) \( \Leftrightarrow 0 < x \le {\log _{\frac{3}{2}}}3\)
A. $\left( {0;\frac{1}{3}} \right].$
B. $\left( {0;\frac{1}{3}} \right).$
C. $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right].$
D. $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right] \cup \left( {0; + \infty } \right).$
Vì $\frac{2}{{\sqrt 5 }} < 1$ nên bất phương trình tương đương với $\frac{1}{x} \ge 3 \Leftrightarrow \frac{{1 - 3x}}{x} \ge 0 \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;\frac{1}{3}} \right]$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;\frac{1}{3}} \right]$
A. \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 2\end{array} \right..\)
B. x < 0.
C. x > 2.
D. 0 < x < 2.
${2^x} + {4.5^x} - 4 < {10^x}$$ \Leftrightarrow {2^x} - {10^x} + {4.5^x} - 4 < 0 \Leftrightarrow {2^x}\left( {1 - {5^x}} \right) - 4\left( {1 - {5^x}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 - {5^x}} \right)\left( {{2^x} - 4} \right) < 0$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - {5^x} < 0\\{2^x} - 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - {5^x} > 0\\{2^x} - 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{5^x} > 1\\{2^x} > 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{5^x} < 1\\{2^x} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - {5^x} < 0\\{2^x} - 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - {5^x} > 0\\{2^x} - 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{5^x} > 1\\{2^x} > 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{5^x} < 1\\{2^x} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
A. $ - 1 \le x{\kern 1pt} \le 1.$
B. \(\left( { - 8;0} \right).\)
C. \(\left( {1;9} \right).\)\(\)
D. \(\left( {0;1} \right].\)
${2^{\sqrt x }} - {2^{1 - \sqrt x }} < 1$ $\left( 1 \right)$. Điều kiện: $x \ge 0$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^{\sqrt x }} - \frac{2}{{{2^{\sqrt x }}}} < 1{\rm{ }}\left( 2 \right)$. Đặt $t = {2^{\sqrt x }}.{\rm{ Do }}x \ge 0 \Rightarrow t \ge 1$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 1\\t - \frac{2}{t} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 1\\{t^2} - t - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le t < 2 \Leftrightarrow 1 \le {2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow 0 \le x{\kern 1pt} < 1$
VẬN DỤNG
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^{\sqrt x }} - \frac{2}{{{2^{\sqrt x }}}} < 1{\rm{ }}\left( 2 \right)$. Đặt $t = {2^{\sqrt x }}.{\rm{ Do }}x \ge 0 \Rightarrow t \ge 1$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 1\\t - \frac{2}{t} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 1\\{t^2} - t - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le t < 2 \Leftrightarrow 1 \le {2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow 0 \le x{\kern 1pt} < 1$
VẬN DỤNG
A. \(x \in \left\{ { - 5; - 1;1;2} \right\}.\)
B. \(x \in \left\{ { - 5; - 1;1;3} \right\}.\)
C. \(x \in \left\{ { - 5; - 1;1; - 2} \right\}.\)
D. \(x \in \left\{ {5; - 1;1;2} \right\}.\)
\({4^{{x^2} - 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{2{x^2} + 3x + 7}} + 1\)\( \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{{x^2} - 3x + 2}}{.4^{{x^2} + 6x + 5}} + 1\)
\( \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 3x + 2}}\left( {1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) - \left( {1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{4^{{x^2} - 3x + 2}} - 1} \right)\left( {1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^{{x^2} - 3x + 2}} - 1 = 0\\1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\{x^2} + 6x + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \vee x = - 5\\x = 1 \vee x = 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 3x + 2}}\left( {1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) - \left( {1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{4^{{x^2} - 3x + 2}} - 1} \right)\left( {1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^{{x^2} - 3x + 2}} - 1 = 0\\1 - {4^{{x^2} + 6x + 5}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\{x^2} + 6x + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \vee x = - 5\\x = 1 \vee x = 2\end{array} \right.\)
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
\({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^x}\)$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} = 1$
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x}\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) do các cơ số \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 2\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x}\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) do các cơ số \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 2\).
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
\({3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} \right) - {4.3^x} - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^{2x}} - 1} \right) + 2x\left( {{3^x} + 1} \right) - \left( {{{4.3}^x} + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 1} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) + \left( {2x - 4} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x - 5} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + 2x - 5\) , ta có :\(f\left( 1 \right) = 0\).
\(f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x \in \mathbb{R}\) . Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1
\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 1} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) + \left( {2x - 4} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x - 5} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + 2x - 5\) , ta có :\(f\left( 1 \right) = 0\).
\(f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x \in \mathbb{R}\) . Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1
A. \(3{x_1} - 2{x_2} = {\log _3}8\).
B. \(2{x_1} - 3{x_2} = {\log _3}8\).
C. \(2{x_1} + 3{x_2} = {\log _3}54.\)
D. \(3{x_1} + 2{x_2} = {\log _3}54.\)
Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: $\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\log _2}{2^{x - 3}} = {\log _2}{3^{{x^2} - 5x + 6}}$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _2}2 = \left( {{x^2} - 5x + 6} \right){\log _2}3 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right).\left[ {1 - \left( {x - 2} \right){{\log }_2}3} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\1 - \left( {x - 2} \right){\log _2}3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\left( {x - 2} \right){\log _2}3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x - 2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}2 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}2 + {\log _3}9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}18\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _2}2 = \left( {{x^2} - 5x + 6} \right){\log _2}3 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right).\left[ {1 - \left( {x - 2} \right){{\log }_2}3} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\1 - \left( {x - 2} \right){\log _2}3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\left( {x - 2} \right){\log _2}3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x - 2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}2 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}2 + {\log _3}9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}18\end{array} \right.$
A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
D. Tích của hai nghiệm bằng \( - 6\) .
${\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 6$ $\left( 8 \right)$
$\left( 8 \right) \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \right]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}} \right]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} - 6 = 0{\rm{ }}\left( {8'} \right)$
Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} > 0$.
Khi đó: $\left( {8'} \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{ }}\left( N \right)\\t = - 3{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$. Với \[t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\]
Chọn đáp án A
$\left( 8 \right) \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \right]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}} \right]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} - 6 = 0{\rm{ }}\left( {8'} \right)$
Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} > 0$.
Khi đó: $\left( {8'} \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{ }}\left( N \right)\\t = - 3{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$. Với \[t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\]
Chọn đáp án A
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 4 .
${3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3}$ $\left( 7 \right)$
$\left( 7 \right) \Leftrightarrow {27.3^{3x}} + \frac{{27}}{{{3^{3x}}}} + {81.3^x} + \frac{{81}}{{{3^x}}} = {10^3} \Leftrightarrow 27.\left( {{3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}}} \right) + 81.\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right) = {10^3}{\rm{ }}\left( {7'} \right)$
Đặt $t = {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}\mathop \ge \limits^{C\^o si} 2\sqrt {{3^x}.\frac{1}{{{3^x}}}} = 2$
$ \Rightarrow {t^3} = {\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^3} = {3^{3x}} + {3.3^{2x}}.\frac{1}{{{3^x}}} + {3.3^x}.\frac{1}{{{3^{2x}}}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} \Leftrightarrow {3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} = {t^3} - 3t$
Khi đó: $\left( {7'} \right) \Leftrightarrow 27\left( {{t^3} - 3t} \right) + 81t = {10^3} \Leftrightarrow {t^3} = \frac{{{{10}^3}}}{{27}} \Leftrightarrow t = \frac{{10}}{3} > 2{\rm{ }}\left( N \right)$
Với $t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} = \frac{{10}}{3}{\rm{ }}\left( {7''} \right)$
Đặt $y = {3^x} > 0$. Khi đó: $\left( {7''} \right) \Leftrightarrow y + \frac{1}{y} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{y^2} - 10y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3{\rm{ }}\left( N \right)\\y = \frac{1}{3}{\rm{ }}\left( N \right)\end{array} \right.$
Với $y = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1$
Với $y = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = - 1$
$\left( 7 \right) \Leftrightarrow {27.3^{3x}} + \frac{{27}}{{{3^{3x}}}} + {81.3^x} + \frac{{81}}{{{3^x}}} = {10^3} \Leftrightarrow 27.\left( {{3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}}} \right) + 81.\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right) = {10^3}{\rm{ }}\left( {7'} \right)$
Đặt $t = {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}\mathop \ge \limits^{C\^o si} 2\sqrt {{3^x}.\frac{1}{{{3^x}}}} = 2$
$ \Rightarrow {t^3} = {\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^3} = {3^{3x}} + {3.3^{2x}}.\frac{1}{{{3^x}}} + {3.3^x}.\frac{1}{{{3^{2x}}}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} \Leftrightarrow {3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} = {t^3} - 3t$
Khi đó: $\left( {7'} \right) \Leftrightarrow 27\left( {{t^3} - 3t} \right) + 81t = {10^3} \Leftrightarrow {t^3} = \frac{{{{10}^3}}}{{27}} \Leftrightarrow t = \frac{{10}}{3} > 2{\rm{ }}\left( N \right)$
Với $t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} = \frac{{10}}{3}{\rm{ }}\left( {7''} \right)$
Đặt $y = {3^x} > 0$. Khi đó: $\left( {7''} \right) \Leftrightarrow y + \frac{1}{y} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{y^2} - 10y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3{\rm{ }}\left( N \right)\\y = \frac{1}{3}{\rm{ }}\left( N \right)\end{array} \right.$
Với $y = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1$
Với $y = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = - 1$
A. $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
B. $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
C. $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
D. $x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
${9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6$ $ \Leftrightarrow {9^{1 - {{\cos }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6 \Leftrightarrow \frac{9}{{{9^{{{\cos }^2}x}}}} + {9^{{{\cos }^2}x}} - 6 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Đặt $t = {9^{{{\cos }^2}x}},{\rm{ }}\left( {1 \le t \le 9} \right)$. Khi đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{9}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3$
Với $t = 3 \Rightarrow {9^{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {3^{2{{\cos }^2}x}} = {3^1} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Đặt $t = {9^{{{\cos }^2}x}},{\rm{ }}\left( {1 \le t \le 9} \right)$. Khi đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{9}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3$
Với $t = 3 \Rightarrow {9^{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {3^{2{{\cos }^2}x}} = {3^1} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
A. \(m > 2\).
B. \(m < 2\).
C. \(m = 2\).
D. \(m \le 2\).
câu 8 & 9
Nhận xét: $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1$.
Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \frac{1}{t},\forall t \in \left( {0, + \infty } \right)$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = t + \frac{1}{t} = m{\rm{ }}\left( {1'} \right),\forall t \in \left( {0, + \infty } \right)$.
Xét hàm số$f\left( t \right) = t + \frac{1}{t}$ xác định và liên tục trên$\left( {0, + \infty } \right)$.
Ta có: $f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}}$. Cho $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên:
+ Nếu $m < 2$ thì phương trình $\left( {1'} \right)$vô nghiệm$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$vô nghiệm.
Câu 8 chọn đáp án A
+ Nếu $m = 2$ thì phương trình $\left( {1'} \right)$có đúng một nghiệm$t = 1$$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$có đúng một nghiệm $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow x = 0$.
+ Nếu $m > 2$thì phương trình $\left( {1'} \right)$có hai nghiệm phân biệt$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt.
Câu 9 chọn đáp án A
Nhận xét: $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1$.
Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \frac{1}{t},\forall t \in \left( {0, + \infty } \right)$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = t + \frac{1}{t} = m{\rm{ }}\left( {1'} \right),\forall t \in \left( {0, + \infty } \right)$.
Xét hàm số$f\left( t \right) = t + \frac{1}{t}$ xác định và liên tục trên$\left( {0, + \infty } \right)$.
Ta có: $f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}}$. Cho $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên:
+ Nếu $m < 2$ thì phương trình $\left( {1'} \right)$vô nghiệm$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$vô nghiệm.
Câu 8 chọn đáp án A
+ Nếu $m = 2$ thì phương trình $\left( {1'} \right)$có đúng một nghiệm$t = 1$$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$có đúng một nghiệm $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow x = 0$.
+ Nếu $m > 2$thì phương trình $\left( {1'} \right)$có hai nghiệm phân biệt$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt.
Câu 9 chọn đáp án A
A. 0.
B. 2.
C. - 2.
D. 1.
\({2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} \right)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1} \Leftrightarrow {8.2^{{x^2} + 1}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{{4.2}^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} - {{4.2}^{{x^2} + 1}} + 1} \)
Đặt \(t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \ge 2} \right)\) , phương trình trên tương đương với
\(8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} - 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} \) (vì \(t \ge 2\)). Từ đó suy ra
\({2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \\{x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \end{array} \right.\)
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
Đặt \(t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \ge 2} \right)\) , phương trình trên tương đương với
\(8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} - 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} \) (vì \(t \ge 2\)). Từ đó suy ra
\({2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \\{x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \end{array} \right.\)
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
A. \( - 4 < m < - 1.\)
B. Không tồn tại \(m\).
C. \( - 1 < m < \frac{3}{2}\).
D. \( - 1 < m < - \frac{5}{6}\).
Đặt \({4^x} = t > 0\). Phương trình đã cho trở thành: $\underbrace {\left( {m + 1} \right){t^2} - 2\left( {2m - 3} \right)t + 6m + 5}_{f\left( t \right)} = 0.$ \(\left( * \right)\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm \({t_1},{\rm{ }}{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\left( {m + 1} \right)f\left( 1 \right) < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {3m + 12} \right) < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < m < - 1.\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm \({t_1},{\rm{ }}{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\left( {m + 1} \right)f\left( 1 \right) < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {3m + 12} \right) < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < m < - 1.\)
A. $S = \left( { - 1;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right).$
B. $S = \left( { - 1;0} \right] \cap \left( {1; + \infty } \right).$
C. $S = \left( { - \infty ;0} \right].$
D. $S = \left( { - \infty ;0} \right).$
$\frac{1}{{{5^{x + 1}} - 1}} \ge \frac{1}{{5 - {5^x}}} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - {5^x}} \right)}}{{\left( {{{5.5}^x} - 1} \right)\left( {5 - {5^x}} \right)}} \ge 0\,\,(1)$.
Đặt $t = {5^x}$, BPT $(1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {5t - 1} \right)\left( {5 - t} \right)}} \ge 0\,$. Đặt $f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {5t - 1} \right)\left( {5 - t} \right)}}$.
Lập bảng xét dấu $f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {5t - 1} \right)\left( {5 - t} \right)}}$, ta được nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}5 < t\\\frac{1}{5} < t \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 < {5^x}\\\frac{1}{5} < {5^x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x\\ - 1 < x \le 0\end{array} \right.$.
Vậy tập nghiệm của BPT là $S = \left( { - 1;\,0} \right] \cup \left( {1;\, + \infty } \right)$.
Đặt $t = {5^x}$, BPT $(1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {5t - 1} \right)\left( {5 - t} \right)}} \ge 0\,$. Đặt $f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {5t - 1} \right)\left( {5 - t} \right)}}$.
Lập bảng xét dấu $f(t) = \frac{{6\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {5t - 1} \right)\left( {5 - t} \right)}}$, ta được nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}5 < t\\\frac{1}{5} < t \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 < {5^x}\\\frac{1}{5} < {5^x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x\\ - 1 < x \le 0\end{array} \right.$.
Vậy tập nghiệm của BPT là $S = \left( { - 1;\,0} \right] \cup \left( {1;\, + \infty } \right)$.
A. \(S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {0;2} \right] \cup \left[ {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right).\)
B. \(S = \left( {0; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {1 - \sqrt 3 ;0} \right).\)
\({25^{ - {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ - {x^2} + 2x + 1}} \ge {34.15^{ - {x^2} + 2x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^{2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right)}} + 1 \ge \frac{{34}}{{15}}.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^{\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \le 1 - \sqrt 3 \\x \ge 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)
A. m = 4.
B. m = 2.
C. m = 1.
D. m = 3.
Ta có: \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 2m = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2m{.2^x} + 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\)là phương trình bậc hai ẩn \({2^x}\)có: \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 2m = {m^2} - 2m\).
Phương trình \(\left( * \right)\)có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le 0\end{array} \right.\)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \({2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 2m \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = 2m\)
Do đó \({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {2^3} = 2m \Leftrightarrow m = 4\).
Thử lại ta được \(m = 4\)thỏa mãn. Chọn A.
Phương trình \(\left( * \right)\)là phương trình bậc hai ẩn \({2^x}\)có: \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 2m = {m^2} - 2m\).
Phương trình \(\left( * \right)\)có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le 0\end{array} \right.\)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \({2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 2m \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = 2m\)
Do đó \({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {2^3} = 2m \Leftrightarrow m = 4\).
Thử lại ta được \(m = 4\)thỏa mãn. Chọn A.
A. \(m \le 4.\)
B. \(m \ge 4.\)
C. \(m \le 1.\)
D. \(m \ge 1.\)
Chia hai vế của bất phương trình cho \({3^{{{\sin }^2}x}} > 0\) , ta được
\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^{{{\sin }^2}x}} \ge m\)
Xét hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^{{{\sin }^2}x}}\) là hàm số nghịch biến.
Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\) nên \(1 \le y \le 4\)
Vậy bất phương trình có nghiệm khi \(m \le 4\). Chọn đáp án A
\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^{{{\sin }^2}x}} \ge m\)
Xét hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^{{{\sin }^2}x}}\) là hàm số nghịch biến.
Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\) nên \(1 \le y \le 4\)
Vậy bất phương trình có nghiệm khi \(m \le 4\). Chọn đáp án A
A. \(m \ge - \frac{3}{2}.\)
B. \(m > - \frac{3}{2}.\)
C. \(m > 3 + 2\sqrt 2 .\)
D. \(m \ge 3 + 2\sqrt 2 .\)
Đặt \(t = {3^x}\)
Vì \(x > 1 \Rightarrow t > 3\) Bất phương trình đã cho thành: \({t^2} + \left( {m - 1} \right).t + m > 0\) nghiệm đúng \(\forall t \ge 3\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m\) nghiệm đúng \(\forall t > 3\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t \right) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall t > 3\). Hàm số đồng biến trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\) và \(g\left( 3 \right) = \frac{3}{2}\). Yêu cầu bài toán tương đương \( - m \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \ge - \frac{3}{2}\).
Vì \(x > 1 \Rightarrow t > 3\) Bất phương trình đã cho thành: \({t^2} + \left( {m - 1} \right).t + m > 0\) nghiệm đúng \(\forall t \ge 3\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} > - m\) nghiệm đúng \(\forall t > 3\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t \right) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall t > 3\). Hàm số đồng biến trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\) và \(g\left( 3 \right) = \frac{3}{2}\). Yêu cầu bài toán tương đương \( - m \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \ge - \frac{3}{2}\).
Sửa lần cuối: