A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức $z$thỏa mãn ${z^2} = w$ được gọi là một căn bậc hai của w.
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a,\,b,\,c \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)$. Xét $\Delta = {b^2} - 4ac$, ta có
* ∆ = 0: phương trình có nghiệm thực $x = - \frac{b}{{2a}}$.
* ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
* ∆ < 0: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}$.
Chú ý.
* Mọi phương trình bậc $n$: ${A_o}{z^n} + {A_1}{z^{n - 1}} + ... + {A_{n - 1}}z + {A_n} = 0$luôn có $n$ nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
* Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$(thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức
* Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực
+ a < 0a có các căn bậc hai là $ \pm i\sqrt {|a|} $.
+ a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.
+ a > 0, a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt a $.
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và - i. Hai căn bậc hai của $ - {a^2}$(alà số thực khác 0) là $ai$ và - ai.
* Trường hợp $w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,b \ne 0} \right)$
Gọi $z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là
${\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow \,{x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$
Mỗi cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai $x + yi$ của số phức w = a + bi.
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w = - 5 + 12i
Gọi $z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của số phức w = - 5 + 12i
Ta có ${z^2} = w \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 5\\2xy = 12\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \frac{6}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.$
Vậy w = - 5 + 12i có hai căn bậc hai là 2 + 3i và - 2 - 3i.
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
* Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: ${z^2} - z + 1 = 0$
Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = - 3 < 0$
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là ${x_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}$.
* Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = - 1.
+ Định lý Bơdu:
Phần dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$cho $x - a$ bằng giá trị của đa thức $f\left( x \right)$ tại x = a.
Tức là $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right) - f\left( a \right)$
Hệ quả: Nếu $f\left( a \right) = 0$ thì $f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)$
Nếu $f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)$thì $f\left( a \right) = 0$ hay $f\left( x \right) = 0$ có một nghiệm x = a.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:
Với đa thức $f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ chia cho $x - a$ có thương là $g\left( x \right) = {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {b_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ... + {b_1}x + {b_0}$ dư $r$
– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo i: Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z = - 3 - 4i có kết quả:
Cách 1:
– Mode 2 (CMPLX)
– Nhập hàm ${X^2}$
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng $z$ thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 (COMP)
– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập $Pol\left( { - 3;4} \right)$
– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập${\mathop{\rm Re}\nolimits} c\left( {\sqrt X ,Y:2} \right)$, ta thu được kết quả$X = 1;\,Y = 2$.
– Vậy 2 số phức cần tìm là $1 + 2i$ và $ - 1 - 2i$.
1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức $z$thỏa mãn ${z^2} = w$ được gọi là một căn bậc hai của w.
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a,\,b,\,c \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)$. Xét $\Delta = {b^2} - 4ac$, ta có
* ∆ = 0: phương trình có nghiệm thực $x = - \frac{b}{{2a}}$.
* ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
* ∆ < 0: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}$.
Chú ý.
* Mọi phương trình bậc $n$: ${A_o}{z^n} + {A_1}{z^{n - 1}} + ... + {A_{n - 1}}z + {A_n} = 0$luôn có $n$ nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
* Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$(thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức
* Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực
+ a < 0a có các căn bậc hai là $ \pm i\sqrt {|a|} $.
+ a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.
+ a > 0, a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt a $.
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và - i. Hai căn bậc hai của $ - {a^2}$(alà số thực khác 0) là $ai$ và - ai.
* Trường hợp $w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,b \ne 0} \right)$
Gọi $z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là
${\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow \,{x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$
Mỗi cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai $x + yi$ của số phức w = a + bi.
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w = - 5 + 12i
Gọi $z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của số phức w = - 5 + 12i
Ta có ${z^2} = w \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 5\\2xy = 12\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \frac{6}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.$
Vậy w = - 5 + 12i có hai căn bậc hai là 2 + 3i và - 2 - 3i.
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
* Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: ${z^2} - z + 1 = 0$
Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = - 3 < 0$
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là ${x_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}$.
* Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = - 1.
+ Định lý Bơdu:
Phần dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$cho $x - a$ bằng giá trị của đa thức $f\left( x \right)$ tại x = a.
Tức là $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right) - f\left( a \right)$
Hệ quả: Nếu $f\left( a \right) = 0$ thì $f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)$
Nếu $f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)$thì $f\left( a \right) = 0$ hay $f\left( x \right) = 0$ có một nghiệm x = a.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:
Với đa thức $f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ chia cho $x - a$ có thương là $g\left( x \right) = {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {b_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ... + {b_1}x + {b_0}$ dư $r$
– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo i: Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z = - 3 - 4i có kết quả:
Cách 1:
– Mode 2 (CMPLX)
– Nhập hàm ${X^2}$
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng $z$ thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 (COMP)
– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập $Pol\left( { - 3;4} \right)$
– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập${\mathop{\rm Re}\nolimits} c\left( {\sqrt X ,Y:2} \right)$, ta thu được kết quả$X = 1;\,Y = 2$.
– Vậy 2 số phức cần tìm là $1 + 2i$ và $ - 1 - 2i$.
VÍ DỤ MINH HỌA
CâU 1. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $2{x^2} + x + 1 = 0$ có nghiệm là:
A. ${x_1} = \frac{1}{4}\left( { - 1 - \sqrt 7 i} \right);{x_2} = \frac{1}{4}\left( { - 1 + \sqrt 7 i} \right)$
B. ${x_1} = \frac{1}{4}\left( {1 + \sqrt 7 i} \right);{x_2} = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 7 i} \right)$
C. ${x_1} = \frac{1}{4}\left( { - 1 + \sqrt 7 i} \right);{x_2} = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 7 i} \right)$
D. ${x_1} = \frac{1}{4}\left( {1 + \sqrt 7 i} \right);{x_2} = \frac{1}{4}\left( { - 1 - \sqrt 7 i} \right)$
Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phức là:
${x_{1,2}} = = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}$
Vậy ta chọn đáp án A.
${x_{1,2}} = = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}$
Vậy ta chọn đáp án A.
A. ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = - 1 - 2i$
B. ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$
C. ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = - 1 + 2i$
D. ${z_1} = - 1 + 2i;{z_2} = - 1 - 2i$.
Giả sử $w = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z = - 3 + 4i$.
Ta có:
${w^2} = z \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = - 3 + 4i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 3\\2xy = 4\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = \frac{2}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do đó z có hai căn bậc hai là:
$\begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = - 1 - 2i\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
Ta có:
${w^2} = z \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = - 3 + 4i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 3\\2xy = 4\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = \frac{2}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do đó z có hai căn bậc hai là:
$\begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = - 1 - 2i\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
A. ${z_1} = 2;{z_2} = 1 + \sqrt 3 i;{z_3} = 1 - \sqrt 3 i$
B. ${z_1} = 2;{z_2} = - 1 + \sqrt 3 i;{z_3} = - 1 - \sqrt 3 i$
C. ${z_1} = - 2;{z_2} = - 1 + \sqrt 3 i;{z_3} = - 1 - \sqrt 3 i$
D. ${z_1} = - 2;{z_2} = 1 + \sqrt 3 i;{z_3} = 1 - \sqrt 3 i$
Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:
$\begin{array}{l}{z^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 2} \right)\left( {{z^2} + 2z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\{z^2} + 2z + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\{\left( {z + 1} \right)^2} = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\z + 1 = \sqrt 3 i\\z + 1 = - \sqrt 3 i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\z = - 1 + \sqrt 3 i\\z = - 1 - \sqrt 3 i\end{array} \right.\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
$\begin{array}{l}{z^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 2} \right)\left( {{z^2} + 2z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\{z^2} + 2z + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\{\left( {z + 1} \right)^2} = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\z + 1 = \sqrt 3 i\\z + 1 = - \sqrt 3 i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\z = - 1 + \sqrt 3 i\\z = - 1 - \sqrt 3 i\end{array} \right.\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
A. $z = - 3 + 4i$
B. $z = - 2 + 4i$
C. $z = - 4 + 4i$
D. $z = - 5 + 4i$
Đặt $z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.
Thay vào phương trình: $\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 2 + 4i$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 2\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 4\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Thay vào phương trình: $\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 2 + 4i$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 2\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 4\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
A. ${x^2} + 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$
B. ${x^2} + 2ax + {a^2} - {b^2} = 0$
C. ${x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$
D. ${x^2} - 2ax + {a^2} - {b^2} = 0$
Áp dụng định lý đảo Viet : $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 2a\\P = {x_1}.{x_2} = {a^2} + {b^2}\end{array} \right.$.
Do đó ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình: ${x^2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$
Ta chọn đáp án A.
Do đó ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình: ${x^2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$
Ta chọn đáp án A.
A. $\left[ \begin{array}{l}z = 3i\\z = 4i\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}z = i\\z = - 4i\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}z = 1 + i\\z = - 3i\end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l}z = 2 - 3i\\z = 1 + i\end{array} \right.$
$\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {3i} \right)^2} - 4.1.4 = - 25 < 0$
Nên phương trình có hai nghiệm phức là:
$\begin{array}{l}{z_1} = \frac{{ - 3i + 5i}}{2} = i\\{z_2} = \frac{{ - 3i - 5i}}{2} = - 4i\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
Nên phương trình có hai nghiệm phức là:
$\begin{array}{l}{z_1} = \frac{{ - 3i + 5i}}{2} = i\\{z_2} = \frac{{ - 3i - 5i}}{2} = - 4i\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
A. $\left[ \begin{array}{l}z = 3 + 5i\\z = 3 - 5i\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}z = \frac{{2 + \sqrt 3 i}}{2}\\z = \frac{{2 - \sqrt 3 i}}{2}\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}z = \frac{{1 + \sqrt 5 i}}{2}\\z = \frac{{1 - \sqrt 5 i}}{2}\end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l}z = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2}\\z = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}\end{array} \right.$
$\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0$
Nên phương trình có hai nghiệm phức là:
$\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2}\\{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
Nên phương trình có hai nghiệm phức là:
$\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2}\\{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
A. $\left[ \begin{array}{l}z = 3 - i\\z = 3 + i\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}z = 3 + i\\z = - 3 - i\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + i\\z = 3 - i\end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l}z = 3 - i\\z = - 3 - i\end{array} \right.$
Giả sử $w = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của số phức$z = 8 + 6i$.
Ta có: ${w^2} = z \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = 8 + 6i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\2xy = 6\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \frac{3}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do đó z có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + i\\{z_2} = - 3 - i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta có: ${w^2} = z \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = 8 + 6i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\2xy = 6\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \frac{3}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do đó z có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + i\\{z_2} = - 3 - i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
A. $\left[ \begin{array}{l}z = \sqrt 5 \\z = - \sqrt 5 \end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}z = \sqrt[4]{5}i\\z = - \sqrt[4]{5}i\end{array} \right.$
C. $\sqrt 5 i$
D. $ - \sqrt 5 i$
${z^2} + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - \sqrt 5 \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt[4]{5}$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $\left[ \begin{array}{l}z = 2 + 3i\,\,\\z = - 2 - 3i\end{array} \right.$
B. $z = 2 + 3i$
C. $z = 2 - 3i$
D. $\left[ \begin{array}{l}z = 2 - 3i\,\,\\z = - 2 + 3i\end{array} \right.\,$
Giả sử $z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một nghiệm của phương trình.
$\begin{array}{l}{z^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xy = - 5 + 12i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 5\\2xy = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \frac{6}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$
Do đó phương trình có hai nghiệm là $\left[ \begin{array}{l}z = 2 + 3i\\z = - 2 - 3i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
$\begin{array}{l}{z^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xy = - 5 + 12i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 5\\2xy = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \frac{6}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$
Do đó phương trình có hai nghiệm là $\left[ \begin{array}{l}z = 2 + 3i\\z = - 2 - 3i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
A. $z = 2 - i$
B. $z = - 2 - i$
C. $\left[ \begin{array}{l}z = - 2 - i\\z = - 2 + i\end{array} \right.$
D. $z = - 2 + i$
${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = - 1 \Leftrightarrow z + 2 = \pm i \Leftrightarrow z = - 2 \pm i$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $\left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 - i\\{z_2} = - i\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}{z_1} = i - 2\\{z_2} = - i\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 2 - i\end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = - i\end{array} \right.$
${z^2} - 2z + 1 - 2i = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = 2i \Leftrightarrow z - 1 = \pm \left( {1 + i} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 1 + i = 2 + i\\z = 1 - 1 - i = - i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. - 2 + i và 2 - i
B. 2 + i và 2 - i
C. 2 + i và - 2 - i
D. $\sqrt 3 + 2i$ và $ - \sqrt 3 - 2i$
Giả sử $w = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z = 3 + 4i$.
Ta có: ${w^2} = z \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = 3 + 4i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 3\\2xy = 4\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \frac{2}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do đó z có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = - 2 - i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta có: ${w^2} = z \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = 3 + 4i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 3\\2xy = 4\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \frac{2}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do đó z có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = - 2 - i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
A. $\sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{{ - \pi }}{8} + i\sin \frac{{ - \pi }}{8}} \right)$ và $\sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{8} + i\sin \frac{{7\pi }}{8}} \right)$
B. $\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$
C. $\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ - \pi }}{4} + i\sin \frac{{ - \pi }}{4}} \right)$
D. $\sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{\pi }{8} + i\sin \frac{\pi }{8}} \right)$ và $\sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{{ - \pi }}{8} + i\sin \frac{{ - \pi }}{8}} \right)$
Ta có $z = 1 - i = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]$ có các căn bậc hai là: ${w_1} = \sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{8} + i\sin \frac{{7\pi }}{8}} \right);\,{w_2} = \sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{{ - \pi }}{8} + i\sin \frac{{ - \pi }}{8}} \right)$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - 2i} \right)$ ; $\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - 2 + i} \right)$; 4i
B. $1 - i$; $ - 1 + i$; $2i$
A. $\frac{{\sqrt 2 \left( {1 - i} \right)}}{2}$, $\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - 1 + i} \right)$, i
D. $1 - 2i$; $ - 15i$ ; 3i
$\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - i\\{\left( {z - i} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{{ \pm \left( {1 - i} \right)}}{{\sqrt 2 }}\\z = i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $ \pm 8{\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm 5i$
B. $ \pm 3{\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm 4$
C. $ \pm 5{\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm 2i$
D. $ \pm \left( {2 + i} \right){\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm \left( {2 - i} \right)$
${z^4} - 6{z^2} + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 3} \right)^2} + 16 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 3 = \pm 4i \Leftrightarrow {z^2} = 3 \pm 4i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \left( {2 + i} \right)\\z = \pm \left( {2 - i} \right)\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $\left( {1 \pm \sqrt 3 } \right)i$
B. $\left( {5 \pm \sqrt 2 } \right)i$
C. $\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i$
D. $\left( {2 \pm \sqrt 5 } \right)i$
$\begin{array}{l} z + \frac{1}{z} = 2i \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {z \ne 0}\\ {{z^2} - 2iz + 1 = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {z \ne 0}\\ {{{\left( {z - i} \right)}^2} + 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {z \ne 0}\\ {z - i = \pm \sqrt 2 i} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {z \ne 0}\\ {z = \left( { \pm \sqrt 2 + 1} \right)i} \end{array}} \right. \Leftrightarrow z = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i \end{array}$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. - 1; $\frac{{2 \pm i\sqrt 3 }}{2}$
B. - 1; $\frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}$
C. - 1; $\frac{{1 \pm i\sqrt 5 }}{4}$
D. - 1; $\frac{{5 \pm i\sqrt 3 }}{4}$
${z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\{z^2} - z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\z = \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A
Ta chọn đáp án A
A $ \pm 1\,;\, \pm 2i$
B. $ \pm 2{\kern 1pt} ;\,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm 2i$
C. $ \pm 3\,;\, \pm 4i$
D. $ \pm 1\,;\, \pm i$
${z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - 1\\{z^2} + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - 1\\z = \pm i\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. - 11i
B. 11i
C. - 11
D. 11i và - 11i
Ta có: $z = - 121 \Leftrightarrow z = {\left( {11i} \right)^2}$. Do đó z có hai căn bậc hai là $z = 11i;\,z = - 11i$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A ${z_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i;\,\,{z_2} = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}i$
B.${z_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i;\,\,{z_2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}i$
C. ${z_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i;\,\,{z_2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$
D.${z_1} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4}i;\,\,{z_2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$
$\Delta ' = b{'^2} - ac = 4 - 8 = - 4 < 0 \Rightarrow {z_{1,2}} = \frac{{2 \pm 2i}}{8} = \frac{1}{4} \pm \frac{i}{4}$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $\frac{9}{4}$
B.9
C. 4
D.$ - \frac{9}{4}$
Theo Viet, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\P = {z_1}.{z_2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}\end{array} \right.$
$z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = \frac{3}{4} - 3 = - \frac{9}{4}$
Ta chọn đáp án A.
$z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = \frac{3}{4} - 3 = - \frac{9}{4}$
Ta chọn đáp án A.
A.0
B. - 3
C. 3
D. - 4
Vì $z = 1 + 2i$ là một nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên ta có:
${\left( {1 + 2i} \right)^2} + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0 \Leftrightarrow a + b + 2ai = 3 - 4i \Leftrightarrow a + b = 3$
Ta chọn đáp án A.
${\left( {1 + 2i} \right)^2} + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0 \Leftrightarrow a + b + 2ai = 3 - 4i \Leftrightarrow a + b = 3$
Ta chọn đáp án A.
A. 5
B. 6
C. 4
D. 7
Theo Viet, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a} = 4\\P = {z_1}.{z_2} = \frac{c}{a} = 5\end{array} \right.$
$z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = 16 - 2.5 = 6$
Ta chọn đáp án A.
$z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = 16 - 2.5 = 6$
Ta chọn đáp án A.
A. - 7
B. – 8
C. - 4
D. 8
$\begin{array}{l}{z^2} + 2z + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 3 i\\ \Rightarrow A = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} = 8\end{array}$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
$\begin{array}{l}{z^3} = 8 \Leftrightarrow \left( {z - 2} \right)\left( {{z^2} + 2z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 2} \right)\left[ {{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2\\z = - 1 \pm \sqrt 3 i\end{array} \right.\end{array}$
Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm.
Ta chọn đáp án A.
Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm.
Ta chọn đáp án A.
A. 4
B. $\frac{9}{4}$
C. 9
D. $ - \frac{9}{4}$
Áp dụng định lý Viet, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\P = {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}\end{array} \right.$
$z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = \frac{3}{4} - 3 = - \frac{9}{4}$
Ta chọn đáp án A.
$z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = \frac{3}{4} - 3 = - \frac{9}{4}$
Ta chọn đáp án A.
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số nghiệm.
$\Delta ' = b{'^2} - ac = 1 - 2 = - 1 < 0$ nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực.
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $ \pm 3i$
B. 3
C. 3i
D. - 3
Ta có $ - 9 = 9.{i^2}$ nên - 9 có các căn bậc hai là 3i và $ - 3i$.
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
A. $ \pm \left( {1 - 4i} \right){\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \, \pm \left( {1 + 4i} \right)$
B. $ \pm \left( {1 - 2i} \right)$; $ \pm \left( {1 + 2i} \right)$
C. $ \pm \left( {1 - 3i} \right){\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \, \pm \left( {1 + 3i} \right)$
D. ±$\left( {1 - i} \right)$; $ \pm \left( {1 + i} \right)$
${z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2i\\{z^2} = - 2i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \left( {1 + i} \right)\\z = \pm \left( {1 - i} \right)\end{array} \right.$
Ta chọn đáp án A.
Ta chọn đáp án A.
Sửa lần cuối: