Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh

Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao \(SO = 6m\) (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi \({c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6}\) nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.

A. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
B. \(\frac{{96\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
C. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
D. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

Phương trình của parapol có dang: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0) nên có phương trình là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)
Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM.
Đặt t=Om thì ta có:
\(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6 = t \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2t + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \pm \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
\( \Rightarrow BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng: \(S(t) = 6.\frac{{B{M^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)^2}\) với \(t \in \left[ {0;6} \right].\)
Vậy thể tích túp liều là: \(V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}{{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)}^2}dt} = \frac{{135\sqrt 3 }}{8}.\)