Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối tứ diện đều \(ABCD\) và \({V_2}\) là thể tích của hình nón ngoại tiếp khối tứ diện \(ABCD\). Tính

Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối tứ diện đều \(ABCD\) và \({V_2}\) là thể tích của hình nón ngoại tiếp khối tứ diện \(ABCD\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}\).
B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\pi }}\).
C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\pi }}\).
D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{4\pi }}\).

Gọi \(a\) là độ dài các cạnh tứ diện.
G là trọng tâm tam giác ABC.
Thể tích khối tứ diện đều \({V_1} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.DG = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Hình nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy \(R = GA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Chiều cao \(h = DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\pi \sqrt 6 }}{{27}}\).
Do đó: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^3}\pi \sqrt 6 }}{{27}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}\).