Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + a} .$
{u = \sqrt {{x^2} + a} }\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}}\\
{v = x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = x\sqrt {{x^2} + a} – \underbrace {\int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} }_J.$
Biến đổi $J$ như sau: $J = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + a} \right) – a} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \int {\sqrt {{x^2} + a} } dx – a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$
Vậy: $I = x\sqrt {{x^2} + a} $ $ – \left( {I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C} \right)$ $ \Leftrightarrow I = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + a} $ $ + \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$
Xem thêm
Giải
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \sqrt {{x^2} + a} }\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}}\\
{v = x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = x\sqrt {{x^2} + a} – \underbrace {\int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} }_J.$
Biến đổi $J$ như sau: $J = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + a} \right) – a} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \int {\sqrt {{x^2} + a} } dx – a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$
Vậy: $I = x\sqrt {{x^2} + a} $ $ – \left( {I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C} \right)$ $ \Leftrightarrow I = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + a} $ $ + \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$
Xem thêm