Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} .$
Trường hợp 1: Với $x \ge 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} + \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – 1} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Xem thêm
Giải
Vì điều kiện $\frac{{x – 1}}{{x + 1}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 1}\\ {x < – 1} \end{array}} \right.$, ta xét hai trường hợp:Trường hợp 1: Với $x \ge 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} + \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – 1} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Xem thêm