Giải bài 10 trang 91 SGK hình học lớp 12 Phương trình đường thẳng trong không gian:
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).
Khi đó \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)\).
Phương trình mặt phẳng \((A'BD)\) có dạng: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\).
\(\overrightarrow{CB'}(0 ; -1 ; 1)\) ; \(\overrightarrow{CD'}(-1 ; 0 ; 1)\).
Mặt phẳng \((B'D'C)\) qua điểm \(C\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \((B'D'C)\) có dạng: \(x-1 + y-1 + z = 0 \Leftrightarrow x+y+z-2=0\).
Vậy:
\(\begin{array}{l}d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\d\left( {A;\left( {B'D'C} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).
Lời giải bài tập
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)\)Khi đó \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)\).
Phương trình mặt phẳng \((A'BD)\) có dạng: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\).
\(\overrightarrow{CB'}(0 ; -1 ; 1)\) ; \(\overrightarrow{CD'}(-1 ; 0 ; 1)\).
Mặt phẳng \((B'D'C)\) qua điểm \(C\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \((B'D'C)\) có dạng: \(x-1 + y-1 + z = 0 \Leftrightarrow x+y+z-2=0\).
Vậy:
\(\begin{array}{l}d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\d\left( {A;\left( {B'D'C} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)