Gọi bán kính đáy là R, chiều cao là h.
Ta có \(V = \pi {R^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {R^2}}}(*)\)
Diện tích đáy là \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm đáy là: \(10 \pi R^2\) (chục nghìn đồng)
Diện tích thân là: \(2\pi Rh = 2\pi R.\frac{{150}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{300}}{R}\) suy ra chi phí làm thân là: \(9.\frac{{300}}{R} = \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng)
Diện tích nắp là: \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm nắp là: \(12 \pi R^2\)
Chi phí sản xuất bể là: \(10\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R} + 12\pi {R^2} = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng).
Xét hàm số \(f(R) = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R},R > 0\)
\(f'(R) = 44\pi R - \frac{{2700}}{{{R^2}}}\)
\(f'(R) = 0 \Leftrightarrow \frac{{44\pi {R^3} - 2700}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}\)
Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}.\)
Từ (*) ta có: \(\frac{h}{R} = \frac{{150}}{{\pi {R^3}}} = \frac{{22}}{9}.\)
