Điểm N nằm trong góc phần tư nào?

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}}\), trong đó z là số phức thỏa mãn \( \left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z. \). Gọi N là điểm trong mặt phẳng sau cho \(\left( {\overrightarrow {Ox} ;\overrightarrow {ON} } \right) = 2\varphi \), trong đó \(\varphi = \left( {\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} } \right)\) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia \(\overrightarrow {OM} \). Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư (IV)
B. Góc phần tư (I)
C. Góc phần tư (II)
D. Góc phần tư (III)

\(\left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z \Leftrightarrow - \left( {1 - i} \right)z + 3z = \left( {1 - i} \right).2i - 2 + i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 3i\)
\( \Leftrightarrow z = \frac{{3i}}{{2 + i}} = \frac{{3 + 6i}}{5}\) \( \Rightarrow w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{\frac{{3 + 6i}}{5} - \frac{{3 - 6i}}{5} + 1}}{{{{\left( {\frac{{3 + 6i}}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {5 + 12i} \right).5}}{{ - 27 + 36i}} = \frac{{22 - 56i}}{{45}} = \frac{{13}}{9}\left( {\frac{{33}}{{65}} - \frac{{56}}{{65}}i} \right)\)
Đặt \(\cos \varphi = \frac{{33}}{{65}};\sin \varphi = - \frac{{56}}{{65}}\) với \(\varphi \) là góc tọa bởi \(\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} \)
\( \Rightarrow \cos 2\varphi = 2{\cos ^2}\varphi - 1 = - \frac{{2047}}{{4225}} < 0\); \(\sin 2\varphi = 2\sin \varphi \cos \varphi = 2.\frac{{33}}{{65}}\left( { - \frac{{56}}{{65}}} \right) = - \frac{{3696}}{{4225}} < 0\)
Suy ra N thuộc góc phần tư thứ ba.