Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ${z^2} = |z{|^2} + \overline z $?
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Gọi $z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:
$\begin{array}{l}{z^2} = |z{|^2} + \overline z \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a - bi \Leftrightarrow a + 2{b^2} - bi - 2abi = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2{b^2}} \right) + \left( { - b - 2ab} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2{b^2} = 0\\b + 2ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2{b^2} = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = \pm \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta chọn đáp án A.
$\begin{array}{l}{z^2} = |z{|^2} + \overline z \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a - bi \Leftrightarrow a + 2{b^2} - bi - 2abi = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2{b^2}} \right) + \left( { - b - 2ab} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2{b^2} = 0\\b + 2ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2{b^2} = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = \pm \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta chọn đáp án A.