Việc sử dụng các công thức logarit sẽ giúp học sinh giải nhanh các dạng bài liên quan. Với việc môn toán sẽ thi bằng hình thức trắc nghiệm và nội dung chủ yếu trong chương trình lớp 12 thì chắc chắn mũ và lôgarit sẽ là một nội dung không thể thiếu. Đây có thể xem là một dạng toán dễ, nhưng để giải được bài tập thì yêu cầu trước hết là phải nắm được các công thức logarit cơ bản.
1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ là:
1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng$(0; + \infty )$.
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha > 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha < 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
- Trục Oy là tiệm cận đứng.
2. Hàm số mũ: $y = {a^x},{\rm{ }}(a > 0,a \ne 1).$
2.1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
2.2.Tập giá trị: $T = (0, + \infty ),$ nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt $t = {a^{f(x)}}$ thì t > 0.
2.3. Tính đơn điệu:
$\begin{array}{l} ({a^x})' = {a^x}.\ln a \Rightarrow ({a^u})' = u'.{a^u}.\ln a\\ ({e^x})' = {e^x} \Rightarrow ({e^u})' = {e^u}.u'\\ (\sqrt[n]{u})' = \frac{{u'}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}} \cdot \end{array}$
2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
3. Hàm số logarit: $y = {\log _a}x,{\rm{ }}(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1)$
3.1.Tập xác định: $D = (0, + \infty ).$
3.2.Tập giá trị: $T = \mathbb{R}$, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt $t = {\log _a}x$ thì $t$ không có điều kiện.
3.3.Tính đơn điệu:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}} \Rightarrow {\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\\ (\ln x)' = \frac{1}{x},{\rm{ }}(x > 0) \Rightarrow (\ln \left| u \right|)' = \frac{{u'}}{u} \end{array} \right.\\ \Rightarrow ({\ln ^n}\left| u \right|)' = n \cdot \frac{{u'}}{u} \cdot {\ln ^{n - 1}}\left| u \right| \end{array}$
3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
B. Hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
C. Hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
D. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm M(a;1)
Câu 2. Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\,(a > 0;a \ne 1)\) là:
A. \((0; + \infty )\)
B. ${\rm{[}}0; + \infty )$
C. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
D. \(\mathbb{R}\)
Câu 3. Với \(a > 0\)và\(a \ne 1\). Phát biểu nào sau đây không đúng?
A. Hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) có cùng tập giá trị.
B. Hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\)có cùng tính đơn điệu.
C. Đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\)đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
D. Đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) đều có đường tiệm cận.
Câu 4. Cho hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành.
Câu 5. Tập xác định của hàm số \(y = {(2x - 1)^{2017}}\) là:
A. \(D = \mathbb{R}\)
B. \(D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right]\)
D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)
Câu 6. Tập xác định của hàm số \(y = {(3{x^2} - 1)^{ - 2}}\) là:
A.\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\)
B. \(D = \left\{ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\)
C. \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Câu 7. Tập xác định của hàm số \(y = {({x^2} - 3x + 2)^{ - e}}\) là:
A. \(D = ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1;2\} \)
C. \(D = (0; + \infty )\)
D. \(D = (1;2)\)
Câu 8. Tập xác định của hàm số \(y = {\log _{0,5}}(x + 1)\) là:
A. \(D = ( - 1; + \infty )\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
C. \(D = (0; + \infty )\)
D. \(( - \infty ; - 1)\)
Câu 9. Tìm x để hàm số \(y = \log \sqrt {{x^2} + x - 12} \)có nghĩa.
A. \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (3; + \infty )\)
B. \(x \in ( - 4;3)\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x \ne 3\end{array} \right.\)
D. \(x \in R\)
Câu 10. Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\) là:
A. \(D = ( - 3;2)\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - {\rm{3}};2\} \)
C.\(D = ( - \infty ; - 3) \cup (2; + \infty )\)
D. \(D = {\rm{[}} - {\rm{3}};2]\)
Câu 11. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }} + \ln (x - 1)\) là:
A. \(D = (1;2)\)
B. \(D = (1; + \infty )\)
C. \(D = (0; + \infty )\)
D. \(D = {\rm{[}}1;2]\)
Câu 12. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}\) là:
A. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
B. \((0; + \infty )\)
C. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\} \)
D. \(D = (e; + \infty )\)
Câu 13. Tập xác định \(y = \sqrt { - 2{x^2} + 5x - 2} + \ln \frac{1}{{{x^2} - 1}}\) là:
A. \(D = (1;2]\)
B. \(D = {\rm{[}}1;2]\)
C. \(D = ( - 1;1)\)
D. \(D = ( - 1;2)\)
Câu 14. Tập xác định của hàm số \(y = \ln (\ln x)\) là :
A. \(D = (1; + \infty )\)
B. \(D = (0; + \infty )\)
C. \(D = (e; + \infty )\)
D. \(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)
Câu 15. Tập xác định của hàm số \(y = {({3^x} - 9)^{ - 2}}\) là
A. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}2\} \)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
C. \(D = (2; + \infty )\)
D. \(D = (0; + \infty )\)
Câu 16. Hàm số \(y = {\log _{x - 1}}x\) xác định khi và chỉ khi :
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)
B. \(x > 1\)
C. \(x > 0\)
D. \(x \ne 2\)
Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)
B. y = x
C. \(y = {2^x}\)
D. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - x}}\)
Câu 18. Hàm số \(y = {(x - 1)^{\frac{1}{3}}}\)có đạo hàm là:
A.\(y' = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{3\sqrt {{{(x - 1)}^3}} }}\)
C. \(y' = \frac{{\sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}{3}\)
D. \(y' = \frac{{\sqrt {{{(x - 1)}^3}} }}{3}\)
Câu 19. Đạo hàm của hàm số \(y = {4^{2x}}\) là:
A. \(y' = {2.4^{2x}}\ln 4\)
B. \(y' = {4^{2x}}.\ln 2\)
C. \(y' = {4^{2x}}\ln 4\)
D. \(y' = {2.4^{2x}}\ln 2\)
Câu 20. Đạo hàm của hàm số $y = {\log _5}x,\,x > 0$ là:
A.\(y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\)
B. \(y' = x\ln 5\)
C. \(y' = {5^x}\ln 5\)
D.\(y' = \frac{1}{{{5^x}\ln 5}}\)
Câu 21. Hàm số $y = {\log _{0,5}}{x^2}\,(x \ne 0)$ có công thức đạo hàm là:
A.\(y' = \frac{2}{{x\ln 0,5}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{{x^2}\ln 0,5}}\)
C. \(y' = \frac{2}{{{x^2}\ln 0,5}}\)
D. \(\frac{1}{{x\ln 0,5}}\)
Câu 22. Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x + {\log _3}{x^3}\,\,(x > 0)\) là:
A.\(y' = \cos x + \frac{3}{{x\ln 3}}\)
B. \(y' = - \cos x + \frac{3}{{x\ln 3}}\)
C. \(y' = \cos x + \frac{1}{{{x^3}\ln 3}}\)
D. \(y' = - \cos x + \frac{1}{{{x^3}\ln 3}}\)
Câu 23. Cho hàm số $f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right)$ . Đạo hàm \({f^/}\left( 0 \right)\)bằng:
A.$0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
Câu 24. Cho hàm số \(f(x) = {e^{2017{x^2}}}\). Đạo hàm \({f^/}\left( 0 \right)\)bằng:
A.$0$
B. $1$
C. $e$
D. \({e^{2017}}\)
Câu 25. Cho hàm số \(f(x) = x{e^x}\). Gọi \({f^/}^/\left( x \right)\)là đạo hàm cấp hai của\(f\left( x \right)\). Ta có\({f^/}^/\left( 1 \right)\) bằng:
A.\(3e\)
B. \( - 3{e^2}\)
C. \({e^3}\)
D. \( - 5{e^2}\)
Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.\(y = {\log _2}x\)
B. \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\)
C. \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)
D. \(y = {\log _2}\left( {2x} \right)\)
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
B. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha > 0\) không có tiệm cận.
C. Hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\)nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
D. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\) có hai tiệm cận.
Câu 28. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
B. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên trái trục tung.
C. Đồ thị hàm số mũ nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ nằm bên trái trục tung.
Câu 29. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
A. Đồ thị hàm số logarit nằm bên trên trục hoành.
B. Đồ thị hàm số mũ không nằm bên dưới trục hoành.
C. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Câu 30. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = {\log _{0,5}}x\)
B. \(y = {\log _2}x\)
C. \(y = - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\)
D.\(y = - 3x + 1\)
Câu 31. Tìm a để hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình bên dưới:
A. \(a = \sqrt 2 \)
B. \(a = 2\)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D.\(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Phần 2: Vận dụng thấp
Câu 32. Tìm tập xác định $D$ của hàm số\(y = {\log _3}\frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\).
A. \(D = ( - \infty ;1) \cup (2;10)\)
B. \(D = (1; + \infty )\)
C. \(D = ( - \infty ;10)\)
D.\(D = (2;10)\)
Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_3}(x - 2) - 3} \)?
A. $D = {\rm{[}}29; + \infty )$
B. \(D = (29; + \infty )\)
C. \(D = (2;29)\)
D.\(D = (2; + \infty )\)
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số \(y = ({x^2} + 2x){e^{ - x}}\)?
A. \(y' = ( - {x^2} + 2){e^{ - x}}\)
B. \(y' = ({x^2} + 2){e^{ - x}}\)
C. \(y' = x{e^{ - x}}\)
D.\(y' = (2x - 2){e^x}\)
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \(y = \ln ({x^2} - 2mx + 4)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) ?
A. \( - 2 < m < 2\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\)
C. \(m > - 2\)
D.\( - 2 \le m \le 2\)
Câu 36. Cho tập\(D = (3;4)\) và các hàm số \(f(x) = \frac{{2017}}{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}\), \(g(x) = {\log _{x - 3}}(4 - x)\),\(h(x) = {3^{{x^2} - 7x + 12}}\)
D là tập xác định của hàm số nào?
A. \(f(x)\)và \(f(x) + g(x)\)
B. \(f(x)\)và\(h(x)\)
C. \(g(x)\)và \(h(x)\)
D. \(f(x) + h(x)\)và \(h(x)\)
Câu 37. Biết hàm số \(y = {2^x}\) có đồ thị là hình bên.
Khi đó, hàm số \(y = {2^{\left| x \right|}}\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây ?
Câu 38. Cho hàm số \(y = ex + {e^{ - x}}\). Nghiệm của phương trình \(y' = 0\)?
A. \(x = - 1\)
B. \(x = 1\)
C. \(x = 0\)
D.\(x = \ln 2\)
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình bên ?
A. \(a = \sqrt 2 \)
B. \(a = \sqrt 2 \)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D.\(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {x^2}{e^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)?
A. e
B. \(\frac{1}{e}\)
C. 2e
D. 0
Câu 41. Cho hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x} \right)\). Khi đó, hàm số \(y = \left| {{{\log }_2}\left( {2x} \right)} \right|\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:
Phần 3: Vận dụng cao
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình \({\log ^4}(x - 1) + {\log ^2}{(x - 1)^2} = 25\)?
A.\(x > 1\)
B. \(x \ne 1\)
C. \(x \ge 1\)
D. \(x \in \mathbb{R}\)
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\)?
A.\(\max y = 4;\,\min y = - \frac{1}{4}\)
B.\(\max y = 4;miny = \frac{1}{4}\)
C.\(\max y = 1;miny = \frac{1}{4}\)
D.\(\max y = 4;miny = 1\)
Câu 44. Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)
A. Hàm số có một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 45. Hình bên là đồ thị của ba hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\), \(y = {\log _c}x\)\(\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.b > a > c
B. a > b > c
C. \(b > c > a\)
D. a > c > b
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2m + 1 - x} }} + {\log _3}\sqrt {x - m} \) xác định trên \(\left( {2;3} \right)\).
A.\(1 \le m \le 2\)
B. \(1 < m \le 2\)
C. \( - 1 < m < 2\)
D.\( - 1 \le m \le 2\)
Câu 47. Cho hàm số $y = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} $ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.Hàm số giảm trên khoảng \((0; + \infty )\)
B.Hàm số tăng trên khoảng \((0; + \infty )\)
C.Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
D.Hàm số có đạo hàm \(y' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
Câu 48. Đối với hàm số \(y = \ln \frac{1}{{x + 1}}\) , Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.\(xy' + 1 = {e^y}\)
B.\(xy' - 1 = - {e^y}\)
C.\(xy' + 1 = - {e^y}\)
D.\(xy' - 1 = {e^y}\)
Câu 49. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)là:
A.\(y' = \frac{{4{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
B.\(y' = \frac{{{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
C.\(y' = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
D.\(y' = \frac{{3{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
Câu 50. Cho hàm số y = sin(x). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.xy” – 2y’ + xy = - 2sinx
B. xy’ + yy” – xy’ = 2sinx
C. xy’ + yy’ – xy’ = 2sinx
D. xy” + y’ - xy =2cosx - 2sinx
Câu 51. Hình bên là đồ thị của ba hàm số \(y = {a^x}\), \(y = {b^x}\), \(y = {c^x}\)\(\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.b > a > c
B.a > b > c
C.a > c > b
D.c > b > a
Cơ sở lý thuyết
1.1. Định nghĩa: Hàm số $y = {x^\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa.1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ là:
- $D = \mathbb{R}$ nếu $\alpha $ là số nguyên dương.
- $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ với $\alpha $ nguyên âm hoặc bằng 0.
- $D = (0; + \infty )$ với $\alpha $ không nguyên.
1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng$(0; + \infty )$.
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha > 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
- $y' = \alpha {x^{\alpha - 1}} > 0,{\rm{ }}\forall x > 0.$
- Giới hạn đặc biệt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = + \infty .$
- Tiệm cận: không có
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha < 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
- $y' = \alpha {x^{\alpha - 1}} < 0,{\rm{ }}\forall x > 0.$
- Giới hạn đặc biệt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty ,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = 0.$
- Tiệm cận:
- Trục Oy là tiệm cận đứng.
2. Hàm số mũ: $y = {a^x},{\rm{ }}(a > 0,a \ne 1).$
2.1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
2.2.Tập giá trị: $T = (0, + \infty ),$ nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt $t = {a^{f(x)}}$ thì t > 0.
2.3. Tính đơn điệu:
- Khi a > 1 thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến, khi đó ta luôn có: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x).$
- Khi 0 < a < 1 thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến, khi đó ta luôn có: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) < g(x).$
$\begin{array}{l} ({a^x})' = {a^x}.\ln a \Rightarrow ({a^u})' = u'.{a^u}.\ln a\\ ({e^x})' = {e^x} \Rightarrow ({e^u})' = {e^u}.u'\\ (\sqrt[n]{u})' = \frac{{u'}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}} \cdot \end{array}$
2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
3. Hàm số logarit: $y = {\log _a}x,{\rm{ }}(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1)$
3.1.Tập xác định: $D = (0, + \infty ).$
3.2.Tập giá trị: $T = \mathbb{R}$, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt $t = {\log _a}x$ thì $t$ không có điều kiện.
3.3.Tính đơn điệu:
- Khi a > 1 thì $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $D,$ khi đó nếu: ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
- Khi 0 < a < 1thì $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $D,$ khi đó nếu ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}} \Rightarrow {\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\\ (\ln x)' = \frac{1}{x},{\rm{ }}(x > 0) \Rightarrow (\ln \left| u \right|)' = \frac{{u'}}{u} \end{array} \right.\\ \Rightarrow ({\ln ^n}\left| u \right|)' = n \cdot \frac{{u'}}{u} \cdot {\ln ^{n - 1}}\left| u \right| \end{array}$
3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Ví dụ minh họa
Phần 1: Nhận biết – Thông hiểuCâu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
B. Hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
C. Hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
D. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm M(a;1)
Chọn đáp án A
Câu B sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
Câu C sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\)đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
Câu D sai vì đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(M(a;{a^a})\)hoặc \(M(0;1)\) chứ không phải M(a;1)
Câu B sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
Câu C sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\)đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
Câu D sai vì đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(M(a;{a^a})\)hoặc \(M(0;1)\) chứ không phải M(a;1)
A. \((0; + \infty )\)
B. ${\rm{[}}0; + \infty )$
C. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
D. \(\mathbb{R}\)
Chọn đáp án A
Với \(a > 0;a \ne 1\)thì\({a^x} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\,(a > 0;a \ne 1)\)là \((0; + \infty )\)
Với \(a > 0;a \ne 1\)thì\({a^x} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\,(a > 0;a \ne 1)\)là \((0; + \infty )\)
A. Hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) có cùng tập giá trị.
B. Hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\)có cùng tính đơn điệu.
C. Đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\)đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
D. Đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) đều có đường tiệm cận.
Chọn đáp án A
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\)là\((0; + \infty )\), tập giá trị của hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\)là\((0; + \infty )\), tập giá trị của hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(\mathbb{R}\).
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành.
Chọn đáp án A
Vì \(0 < \sqrt 2 - 1 < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) .
Vì \(0 < \sqrt 2 - 1 < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) .
A. \(D = \mathbb{R}\)
B. \(D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right]\)
D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)
Chọn đáp án A
Vì \(2007 \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên hàm số xác định với mọi $x$ .
Vì \(2007 \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên hàm số xác định với mọi $x$ .
A.\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\)
B. \(D = \left\{ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\)
C. \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Chọn đáp án A
Vì \( - 2 \in {\mathbb{Z}^ - }\) nên hàm số \(y = {(3{{\rm{x}}^2} - 1)^{ - 2}}\) xác định khi \(3{{\rm{x}}^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) .
Vì \( - 2 \in {\mathbb{Z}^ - }\) nên hàm số \(y = {(3{{\rm{x}}^2} - 1)^{ - 2}}\) xác định khi \(3{{\rm{x}}^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) .
A. \(D = ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1;2\} \)
C. \(D = (0; + \infty )\)
D. \(D = (1;2)\)
Chọn đáp án A
Vì \( - e \notin \mathbb{Z}\) nên hàm số xác định khi ${x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.$ .
Vì \( - e \notin \mathbb{Z}\) nên hàm số xác định khi ${x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.$ .
A. \(D = ( - 1; + \infty )\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
C. \(D = (0; + \infty )\)
D. \(( - \infty ; - 1)\)
Chọn đáp án A
Hàm số \({\log _{0,5}}(x + 1)\) xác định khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Hàm số \({\log _{0,5}}(x + 1)\) xác định khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
A. \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (3; + \infty )\)
B. \(x \in ( - 4;3)\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x \ne 3\end{array} \right.\)
D. \(x \in R\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(\log \sqrt {{x^2} + x - 12} \) có nghĩa khi \({x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 4\end{array} \right.\) .
Hàm số \(\log \sqrt {{x^2} + x - 12} \) có nghĩa khi \({x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 4\end{array} \right.\) .
A. \(D = ( - 3;2)\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - {\rm{3}};2\} \)
C.\(D = ( - \infty ; - 3) \cup (2; + \infty )\)
D. \(D = {\rm{[}} - {\rm{3}};2]\)
Chọn đáp án A
Hàm số \({\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\) có nghĩa khi \(\frac{{x + 3}}{{2 - x}} > 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2\) .
Hàm số \({\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\) có nghĩa khi \(\frac{{x + 3}}{{2 - x}} > 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2\) .
A. \(D = (1;2)\)
B. \(D = (1; + \infty )\)
C. \(D = (0; + \infty )\)
D. \(D = {\rm{[}}1;2]\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }} + \ln (x - 1)\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x < 2\).
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }} + \ln (x - 1)\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x < 2\).
A. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
B. \((0; + \infty )\)
C. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\} \)
D. \(D = (e; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}\) xác định khi \({e^x} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).
Hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}\) xác định khi \({e^x} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).
A. \(D = (1;2]\)
B. \(D = {\rm{[}}1;2]\)
C. \(D = ( - 1;1)\)
D. \(D = ( - 1;2)\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \sqrt { - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2} + \ln \frac{1}{{{x^2} - 1}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2 \ge 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x \le 2\)
Hàm số \(y = \sqrt { - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2} + \ln \frac{1}{{{x^2} - 1}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2 \ge 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x \le 2\)
A. \(D = (1; + \infty )\)
B. \(D = (0; + \infty )\)
C. \(D = (e; + \infty )\)
D. \(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \ln (\ln (x))\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln {\rm{x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Rightarrow x > 1\) .
Hàm số \(y = \ln (\ln (x))\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln {\rm{x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Rightarrow x > 1\) .
A. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}2\} \)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
C. \(D = (2; + \infty )\)
D. \(D = (0; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Vì \( - 2 \in {\mathbb{Z}^ - }\) nên hàm số \(y = {({3^x} - 9)^{ - 2}}\) xác định khi \({3^x} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Vì \( - 2 \in {\mathbb{Z}^ - }\) nên hàm số \(y = {({3^x} - 9)^{ - 2}}\) xác định khi \({3^x} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)
B. \(x > 1\)
C. \(x > 0\)
D. \(x \ne 2\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {\log _{x - 1}}x\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 1 > 0\\x - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\) .
Hàm số \(y = {\log _{x - 1}}x\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 1 > 0\\x - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\) .
A. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)
B. y = x
C. \(y = {2^x}\)
D. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - x}}\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng\(y = {a^x}\). Ta có \(A(0;1)\) và \(B(2;2)\) thuộc đồ thị hàm số.
Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}{a^0} = 1\\{a^2} = 2\\a > 0\end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt 2 \) . Hàm số là \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) .
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng\(y = {a^x}\). Ta có \(A(0;1)\) và \(B(2;2)\) thuộc đồ thị hàm số.
Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}{a^0} = 1\\{a^2} = 2\\a > 0\end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt 2 \) . Hàm số là \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) .
A.\(y' = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{3\sqrt {{{(x - 1)}^3}} }}\)
C. \(y' = \frac{{\sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}{3}\)
D. \(y' = \frac{{\sqrt {{{(x - 1)}^3}} }}{3}\)
Chọn đáp án A
\(y = {(x - 1)^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow y' = \frac{1}{3}(x - 1)'.{(x - 1)^{\frac{1}{3} - 1}} = \frac{1}{3}{(x - 1)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}\) .
\(y = {(x - 1)^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow y' = \frac{1}{3}(x - 1)'.{(x - 1)^{\frac{1}{3} - 1}} = \frac{1}{3}{(x - 1)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}\) .
A. \(y' = {2.4^{2x}}\ln 4\)
B. \(y' = {4^{2x}}.\ln 2\)
C. \(y' = {4^{2x}}\ln 4\)
D. \(y' = {2.4^{2x}}\ln 2\)
Chọn đáp án A
\(y = {4^{2{\rm{x}}}} \Rightarrow y' = (2{\rm{x}})'{.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4 = {2.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4\).
\(y = {4^{2{\rm{x}}}} \Rightarrow y' = (2{\rm{x}})'{.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4 = {2.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4\).
A.\(y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\)
B. \(y' = x\ln 5\)
C. \(y' = {5^x}\ln 5\)
D.\(y' = \frac{1}{{{5^x}\ln 5}}\)
Chọn đáp án A
\(y = {\log _5}x \Rightarrow y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\).
\(y = {\log _5}x \Rightarrow y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\).
A.\(y' = \frac{2}{{x\ln 0,5}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{{x^2}\ln 0,5}}\)
C. \(y' = \frac{2}{{{x^2}\ln 0,5}}\)
D. \(\frac{1}{{x\ln 0,5}}\)
Chọn đáp án A
\(y = {\log _{0,5}}{x^2} \Rightarrow y' = ({x^2})'.\frac{1}{{{x^2}\ln 0,5}} = \frac{2}{{x\ln 0,5}}\) .
\(y = {\log _{0,5}}{x^2} \Rightarrow y' = ({x^2})'.\frac{1}{{{x^2}\ln 0,5}} = \frac{2}{{x\ln 0,5}}\) .
A.\(y' = \cos x + \frac{3}{{x\ln 3}}\)
B. \(y' = - \cos x + \frac{3}{{x\ln 3}}\)
C. \(y' = \cos x + \frac{1}{{{x^3}\ln 3}}\)
D. \(y' = - \cos x + \frac{1}{{{x^3}\ln 3}}\)
Chọn đáp án A
\(y = \sin x + {\log _3}{x^3} \Rightarrow y' = \cos {\rm{x}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3}\ln 3}} = \cos {\rm{x}} + \frac{3}{{x\ln 3}}\) .
\(y = \sin x + {\log _3}{x^3} \Rightarrow y' = \cos {\rm{x}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3}\ln 3}} = \cos {\rm{x}} + \frac{3}{{x\ln 3}}\) .
A.$0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
Chọn đáp án A
\(f(x) = \ln ({x^4} + 1) \Rightarrow f'(x) = \frac{{({x^4} + 1)'}}{{{x^4} + 1}} = \frac{{4{{\rm{x}}^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .
\(f(x) = \ln ({x^4} + 1) \Rightarrow f'(x) = \frac{{({x^4} + 1)'}}{{{x^4} + 1}} = \frac{{4{{\rm{x}}^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .
A.$0$
B. $1$
C. $e$
D. \({e^{2017}}\)
Chọn đáp án A
\(f(x) = {e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(x) = 2.2017{\rm{x}}.{e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .
\(f(x) = {e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(x) = 2.2017{\rm{x}}.{e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .
A.\(3e\)
B. \( - 3{e^2}\)
C. \({e^3}\)
D. \( - 5{e^2}\)
Chọn đáp án A
\(f(x) = x.{e^x} \Rightarrow f'(x) = {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f''(x) = {e^x} + {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f''(1) = 3{\rm{e}}\) .
\(f(x) = x.{e^x} \Rightarrow f'(x) = {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f''(x) = {e^x} + {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f''(1) = 3{\rm{e}}\) .
A.\(y = {\log _2}x\)
B. \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\)
C. \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)
D. \(y = {\log _2}\left( {2x} \right)\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(\left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( - 1 = {\log _a}\frac{1}{2} \Rightarrow {a^{ - 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2\) . Hàm số là \(y = {\log _2}x\).
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(\left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( - 1 = {\log _a}\frac{1}{2} \Rightarrow {a^{ - 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2\) . Hàm số là \(y = {\log _2}x\).
A. Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
B. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha > 0\) không có tiệm cận.
C. Hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\)nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
D. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\) có hai tiệm cận.
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định thay đổi tùy theo \(\alpha \).
Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định thay đổi tùy theo \(\alpha \).
A. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
B. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên trái trục tung.
C. Đồ thị hàm số mũ nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ nằm bên trái trục tung.
Chọn đáp án A
Hàm số lôgarit chỉ xác định khi $x > 0$ nên đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.
Hàm số lôgarit chỉ xác định khi $x > 0$ nên đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.
A. Đồ thị hàm số logarit nằm bên trên trục hoành.
B. Đồ thị hàm số mũ không nằm bên dưới trục hoành.
C. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Chọn đáp án A
Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung và cả dưới, cả trên trục hoành.
Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung và cả dưới, cả trên trục hoành.
A. \(y = {\log _{0,5}}x\)
B. \(y = {\log _2}x\)
C. \(y = - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\)
D.\(y = - 3x + 1\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; - 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( - 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ - 1}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; - 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( - 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ - 1}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
A. \(a = \sqrt 2 \)
B. \(a = 2\)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D.\(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; - 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( - 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ - 1}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; - 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( - 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ - 1}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
Phần 2: Vận dụng thấp
Câu 32. Tìm tập xác định $D$ của hàm số\(y = {\log _3}\frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\).
A. \(D = ( - \infty ;1) \cup (2;10)\)
B. \(D = (1; + \infty )\)
C. \(D = ( - \infty ;10)\)
D.\(D = (2;10)\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}} > 0 \Leftrightarrow x < 1\)hoặc \(2 < x < 10\)
Tập xác định \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;10} \right)\)
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}} > 0 \Leftrightarrow x < 1\)hoặc \(2 < x < 10\)
Tập xác định \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;10} \right)\)
A. $D = {\rm{[}}29; + \infty )$
B. \(D = (29; + \infty )\)
C. \(D = (2;29)\)
D.\(D = (2; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \({\log _3}\left( {x - 2} \right) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\x - 2 \ge {2^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 29\)
Tập xác định \(D = \left[ {29; + \infty } \right)\)
Hàm số xác định \({\log _3}\left( {x - 2} \right) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\x - 2 \ge {2^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 29\)
Tập xác định \(D = \left[ {29; + \infty } \right)\)
A. \(y' = ( - {x^2} + 2){e^{ - x}}\)
B. \(y' = ({x^2} + 2){e^{ - x}}\)
C. \(y' = x{e^{ - x}}\)
D.\(y' = (2x - 2){e^x}\)
Chọn đáp án A
\(y = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^{ - x}} \Rightarrow {y^/} = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^/}{e^{ - x}} + {\left( {{e^{ - x}}} \right)^/}\left( {{x^2} + 2x} \right)\)\( \Rightarrow {y^/} = \left( {2x + 2} \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( { - {x^2} + 2} \right){e^{ - x}}\)
\(y = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^{ - x}} \Rightarrow {y^/} = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^/}{e^{ - x}} + {\left( {{e^{ - x}}} \right)^/}\left( {{x^2} + 2x} \right)\)\( \Rightarrow {y^/} = \left( {2x + 2} \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( { - {x^2} + 2} \right){e^{ - x}}\)
A. \( - 2 < m < 2\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\)
C. \(m > - 2\)
D.\( - 2 \le m \le 2\)
Chọn đáp án A
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 4 > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 4 > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
D là tập xác định của hàm số nào?
A. \(f(x)\)và \(f(x) + g(x)\)
B. \(f(x)\)và\(h(x)\)
C. \(g(x)\)và \(h(x)\)
D. \(f(x) + h(x)\)và \(h(x)\)
Chọn đáp án
A. Sử dụng điều kiện xác định của các hàm số.
A. Sử dụng điều kiện xác định của các hàm số.
Khi đó, hàm số \(y = {2^{\left| x \right|}}\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây ?
Chọn đáp án A
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
A. \(x = - 1\)
B. \(x = 1\)
C. \(x = 0\)
D.\(x = \ln 2\)
Chọn đáp án A
\(y = ex + {e^{ - x}} \Rightarrow {y^/} = e - {e^{ - x}}\). Suy ra\({y^/} = 0 \Leftrightarrow e - {e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
\(y = ex + {e^{ - x}} \Rightarrow {y^/} = e - {e^{ - x}}\). Suy ra\({y^/} = 0 \Leftrightarrow e - {e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
A. \(a = \sqrt 2 \)
B. \(a = \sqrt 2 \)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D.\(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Chọn đáp án A
Nhận dạng đồ thị:
- Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến \( \Rightarrow \) loại C và D.
Đồ thị đã cho qua điểm \(A\left( {2;2} \right)\). Thử với hai đáp án còn lại \( \Rightarrow \) loại B.
Nhận dạng đồ thị:
- Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến \( \Rightarrow \) loại C và D.
Đồ thị đã cho qua điểm \(A\left( {2;2} \right)\). Thử với hai đáp án còn lại \( \Rightarrow \) loại B.
A. e
B. \(\frac{1}{e}\)
C. 2e
D. 0
Chọn đáp án A
Trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\), ta có: \({f^/}\left( x \right) = x{e^x}\left( {x + 2} \right)\); \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\) (loại).
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{e};{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = e\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = e\)
Trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\), ta có: \({f^/}\left( x \right) = x{e^x}\left( {x + 2} \right)\); \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\) (loại).
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{e};{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = e\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = e\)
Chọn đáp án A
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
Phần 3: Vận dụng cao
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình \({\log ^4}(x - 1) + {\log ^2}{(x - 1)^2} = 25\)?
A.\(x > 1\)
B. \(x \ne 1\)
C. \(x \ge 1\)
D. \(x \in \mathbb{R}\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
Tập xác định \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
Tập xác định \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)
A.\(\max y = 4;\,\min y = - \frac{1}{4}\)
B.\(\max y = 4;miny = \frac{1}{4}\)
C.\(\max y = 1;miny = \frac{1}{4}\)
D.\(\max y = 4;miny = 1\)
Chọn đáp án A
Đặt \(t = \left| x \right|,\) với \(x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right]\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\); \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 4\) ; \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 1\)
Hoặc với $x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow \left| x \right| \in \left[ {0;2} \right]$ . Từ đây, suy ra: \({2^0} \le {2^{\left| x \right|}} \le {2^2} \Leftrightarrow 1 \le {2^{\left| x \right|}} \le 4\)
Đặt \(t = \left| x \right|,\) với \(x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right]\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\); \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 4\) ; \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 1\)
Hoặc với $x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow \left| x \right| \in \left[ {0;2} \right]$ . Từ đây, suy ra: \({2^0} \le {2^{\left| x \right|}} \le {2^2} \Leftrightarrow 1 \le {2^{\left| x \right|}} \le 4\)
A. Hàm số có một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Chọn đáp án A
Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right);{\rm{ }}{y^/} = \frac{{1 - \ln x}}{{{{\ln }^2}x}};{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow x = e\)
Hàm \({y^/}\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = e\) nên \(x = e\) là điểm cực tiểu của hàm số.
Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right);{\rm{ }}{y^/} = \frac{{1 - \ln x}}{{{{\ln }^2}x}};{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow x = e\)
Hàm \({y^/}\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = e\) nên \(x = e\) là điểm cực tiểu của hàm số.
A.b > a > c
B. a > b > c
C. \(b > c > a\)
D. a > c > b
Chọn đáp án A
Do \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) là hai hàm dồng biến nên \(a,b > 1\)
Do \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $c$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(y = m\), khi đó tồn tại \({x_1},{\rm{ }}{x_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = m\\{\log _b}{x_2} = m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {x_1}\\{b^m} = {x_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.
Do \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) là hai hàm dồng biến nên \(a,b > 1\)
Do \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $c$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(y = m\), khi đó tồn tại \({x_1},{\rm{ }}{x_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = m\\{\log _b}{x_2} = m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {x_1}\\{b^m} = {x_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.
A.\(1 \le m \le 2\)
B. \(1 < m \le 2\)
C. \( - 1 < m < 2\)
D.\( - 1 \le m \le 2\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 - x > 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2m + 1\\x > m\end{array} \right.\)
Suy ra, tập xác định của hàm số là \(D = \left( {m;2m + 1} \right)\), với \(m \ge - 1\).
Hàm số xác định trên \(\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left( {2;3} \right) \subset D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\2m + 1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 1\end{array} \right.\)
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 - x > 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2m + 1\\x > m\end{array} \right.\)
Suy ra, tập xác định của hàm số là \(D = \left( {m;2m + 1} \right)\), với \(m \ge - 1\).
Hàm số xác định trên \(\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left( {2;3} \right) \subset D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\2m + 1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 1\end{array} \right.\)
A.Hàm số giảm trên khoảng \((0; + \infty )\)
B.Hàm số tăng trên khoảng \((0; + \infty )\)
C.Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
D.Hàm số có đạo hàm \(y' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
Chọn đáp án A
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Đạo hàm: \({y^/} = \ln \left( {1 + \sqrt {1 + {x^2}} } \right);{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 + {x^2}} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Lập bảng biến thiên :
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Đạo hàm: \({y^/} = \ln \left( {1 + \sqrt {1 + {x^2}} } \right);{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 + {x^2}} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Lập bảng biến thiên :
A.\(xy' + 1 = {e^y}\)
B.\(xy' - 1 = - {e^y}\)
C.\(xy' + 1 = - {e^y}\)
D.\(xy' - 1 = {e^y}\)
Chọn đáp án A
\(y = \ln \frac{1}{{x + 1}} = - \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow {y^/} = - \frac{1}{{x + 1}}\)
Ta có: \(xy' + 1 = x\left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1 = - \frac{x}{{x + 1}} + 1 = \frac{1}{{x + 1}}\), \({e^y} = {e^{\ln \frac{1}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{x + 1}}\) .
\(y = \ln \frac{1}{{x + 1}} = - \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow {y^/} = - \frac{1}{{x + 1}}\)
Ta có: \(xy' + 1 = x\left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1 = - \frac{x}{{x + 1}} + 1 = \frac{1}{{x + 1}}\), \({e^y} = {e^{\ln \frac{1}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{x + 1}}\) .
A.\(y' = \frac{{4{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
B.\(y' = \frac{{{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
C.\(y' = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
D.\(y' = \frac{{3{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
Chọn đáp án A
Ta biến đổi hàm số về dạng\(y = \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^{2x}} + 1}}\)\( \Rightarrow {y^/} = \frac{{{{\left( {{e^{2x}} - 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} + 1} \right) - {{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} - 1} \right)}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}}\).
Ta biến đổi hàm số về dạng\(y = \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^{2x}} + 1}}\)\( \Rightarrow {y^/} = \frac{{{{\left( {{e^{2x}} - 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} + 1} \right) - {{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} - 1} \right)}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}}\).
A.xy” – 2y’ + xy = - 2sinx
B. xy’ + yy” – xy’ = 2sinx
C. xy’ + yy’ – xy’ = 2sinx
D. xy” + y’ - xy =2cosx - 2sinx
Chọn đáp án A
\(y = x\sin x \Rightarrow {y^/} = \sin x + x\cos x \Rightarrow {y^{//}} = 2\cos x - x\sin x\)
Ta có: \(x{y^{//}} - 2{y^/} + xy = x\left( {2\cos x - x\sin x} \right) - 2\left( {\sin x + x\cos x} \right) + x.\left( {x\sin x} \right)\)\( = - 2\sin x\)
\(y = x\sin x \Rightarrow {y^/} = \sin x + x\cos x \Rightarrow {y^{//}} = 2\cos x - x\sin x\)
Ta có: \(x{y^{//}} - 2{y^/} + xy = x\left( {2\cos x - x\sin x} \right) - 2\left( {\sin x + x\cos x} \right) + x.\left( {x\sin x} \right)\)\( = - 2\sin x\)
A.b > a > c
B.a > b > c
C.a > c > b
D.c > b > a
Chọn đáp án A
Do \(y = {a^x}\) và \(y = {b^x}\) là hai hàm đồng biến nên \(a,b > 1\).
Do \(y = {c^x}\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $x$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(x = m\), khi đó tồn tại \({y_1},{\rm{ }}{{\rm{y}}_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {y_1}\\{b^m} = {y_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({y_1} < {y_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.
Do \(y = {a^x}\) và \(y = {b^x}\) là hai hàm đồng biến nên \(a,b > 1\).
Do \(y = {c^x}\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $x$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(x = m\), khi đó tồn tại \({y_1},{\rm{ }}{{\rm{y}}_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {y_1}\\{b^m} = {y_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({y_1} < {y_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.
Sửa lần cuối: