Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(3x + 5y - z - 2 = 0\) và đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 12}}{4}

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(3x + 5y - z - 2 = 0\) và đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\). Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.
A. \(\left( \beta \right):4x + 3y + z + 2 = 0\)
B. \(\left( \beta \right): - 4x + 3y + z + 2 = 0\)
C. \(\left( \beta \right):4x - 3y + z - 2 = 0\)
D. \(\left( \beta \right):4x + 3y + z - 2 = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 12 + 4t}\\ {y = 9 + 3t}\\ {z = 1 + t} \end{array}} \right.\).
Khi đó thay vào phương trình \((\alpha)\) ta được:
\(3\left( {12 + 4t} \right) + 5\left( {9 + 3t} \right) - \left( {1 + t} \right) - 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow t = - 3\)
\(\Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\)
Viết phương trình mặt phẳng \(( \beta )\).
\(( \beta )\) vuông góc với \(d \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _{\left( \beta \right)}} = \left( {4;3;1} \right),\) \(( \beta )\) qua \(M\left( {0;0; - 2} \right)\)
\(\Rightarrow \left( \beta \right):4x + 3y + z + 2 = 0\)