Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết $L=C{{R}^{2}}$. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều mà tần số thay

Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết $L=C{{R}^{2}}$. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều mà tần số thay đổi, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số góc là $50\pi $ (rad/s) và $200\pi $ (rad/s); hệ số công suất này là
A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
D. $\frac{3}{\sqrt{12}}$.

Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ và $\omega ={{\omega }_{2}}$ mạch có chung hệ số công suất: $\cos \varphi =\frac{R}{{{Z}_{1}}}=\frac{R}{{{Z}_{2}}}$$\to {{Z}_{1}}={{Z}_{2}}$ ${{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{1}}L-\frac{1}{{{\omega }_{1}}C} \right)}^{2}}={{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{2}}L-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}$ $\xrightarrow{{{\omega }_{2}}>{{\omega }_{1}}}{{\omega }_{2}}L-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C}=\frac{1}{{{\omega }_{1}}C}-{{\omega }_{1}}L\to {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}$ (*) Bài cho ${{\omega }_{2}}=n. {{\omega }_{1}}$ (với n = 4)$\to $ $\omega _{1}^{2}=\frac{1}{n. LC}\to n{{\text{Z}}_{L1}}={{Z}_{C1}}$ mà ${{R}^{2}}=\frac{L}{C}={{Z}_{L1}}. {{Z}_{C1}}=n\text{Z}_{L1}^{2}\to R=\sqrt{n}\text{. }{{\text{Z}}_{L1}}$ Vậy $\cos \varphi =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+{{\left( 1-n \right)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$