Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh BC=2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng \({60^0}.\) Biết diện tích của tam giác (A’BC)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh BC=2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng \({60^0}.\) Biết diện tích của tam giác (A’BC) bằng \(2{a^2}.\) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \(V = 3{a^3}.\)
B. \(V = {a^3}\sqrt 3 .\)
C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Gọi H là hình chiếu của A trên \(BC \Rightarrow AH \bot BC.\)
Ta có \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot BC\)và \(AH \bot BC \Rightarrow BC \bot (A'AH)\)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (A'AH) = AH\\(A'BC) \cap (A'AH) = A'H\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {((ABC);(A'BC))} = \widehat {A'HA} = {60^0}.\)
Diện tích \(\Delta A'BC\) là \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}.A'H.BC \Rightarrow A'H = \frac{{2.{S_{\Delta A'BC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{{2a}} = 2a.\)
Xét \(\Delta A'AH\) vuông tại A, có \(\sin \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{A'H}} \Rightarrow AA' = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 .\)
Và \(AH = \sqrt {A'{H^2} - A'{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = {a^3}.\)
Vậy thể tích lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.a{}^2\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 .\)