Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có \(A'G \bot BC\) và \(AM \bot BC\) do đó \(BC \bot \left( {A'AM} \right).\)
Từ M dựng \(MH \bot AA'\) suy ra MH là đoạn vuông góc chung của BC và AA’ Suy ra \(MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Do đó \(d\left( {G;AA'} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M;\left( {AA'} \right)} \right) \ (do \ GA = \frac{2}{3}MA)\)
\(= \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = d \Rightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{G{A^2}}} + \frac{1}{{A'{G^2}}} \Rightarrow A'G = \frac{a}{3}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)