Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD).
A. \(\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\)
B. \(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)
D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Dựng \(BH \bot SA\). Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BA \bot AD}\\ {AD \bot SB} \end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot BH\)
Mặt khác \(BH \bot SA \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\)
Do đó \(d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = BH = \frac{{SB.SA}}{{\sqrt {S{B^2} + B{A^2}} }}\)
Trong đó \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 4a\)
Suy ra \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SB \Rightarrow SB = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow d = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\)