Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{x}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{x}\) và \(f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}\), tính \(f\left( 3 \right)\).
A. \(\dfrac{{\ln 3 - 3}}{2}\)
B. \(\dfrac{{{{\ln }^2}3 - 3}}{2}\)
C. \(\dfrac{{\ln 3 + 3}}{2}\)
D. \(\dfrac{{{{\ln }^2}3 + 3}}{2}\)

Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm: Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) và suy ra giá trị \(f\left( 3 \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} \)
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\) \( \Rightarrow \int {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} = \int {tdt} = \dfrac{{{t^2}}}{2} + C = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\). Mà \(f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C = \dfrac{3}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + \dfrac{3}{2}\)
Vậy \(f\left( 3 \right) = \dfrac{{{{\ln }^2}3}}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{{\ln }^2}3 + 3}}{2}\) .
Chọn D.