Cho hàm số \(f\left( x \right)\) không âm, có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1,\)\(\left[

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) không âm, có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1,\)\(\left[ {2f\left( x \right) + 1 - {x^2}} \right]f'\left( x \right) = 2x\left[ {1 + 2f\left( x \right)} \right]\) , \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(\dfrac{1}{3}\)
D.
\(\dfrac{3}{2}\)

Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Biến đổi rồi lấy nguyên hàm hai vế , từ đó tìm ra hàm \(f\left( x \right)\) rồi tính tích phân.
Chú ý \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left[ {2f\left( x \right) + 1 - {x^2}} \right]f'\left( x \right) = 2x\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2f\left( x \right).f'\left( x \right) + f'\left( x \right)\left( {1 - {x^2}} \right) = 2x.\left( {1 + f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 2f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) + 2x\left( {1 + f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow {\left[ {{f^2}\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right)} \right]^\prime }\end{array}\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được \({f^2}\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + C\)
Lại có \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \left( {1 - 1} \right).2 + C \Rightarrow C = 1\)
Nên \({f^2}\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^2}f\left( x \right) + {x^2} - f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f\left( x \right)\left( {{x^2} - f\left( x \right)} \right) + {x^2} - f\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - f\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - 1\left( {ktm} \right)\\f\left( x \right) = {x^2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}.\)
Chọn C