Học tốt nguyen ham đơn giản sẽ giúp chúng ta tiếp thu phần nâng cao một cách dễ. Sau đây là bang nguyen ham của 6 hàm số đơn giản
Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau: \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\).
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} – 5x – 2} \right)} \,dx = {x^3} – \frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + C.\)
Ví dụ 2: Dựa vào bang nguyen ham cơ bản ở trên, hãy tính các nguyen ham sau:
a) \(I = \int {{x^8}}dx\)
b) \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\)
c) \(I=\int \frac{1}{x^5}dx\)
d) \(I=\int\frac{1}{2x}dx\)
b) \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }\)
c) \(I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ – 5}}dx = \frac{1}{{ – 5 + 1}}{x^{ – 5 + 1}} + C = } } – \frac{1}{4}{x^{ – 4}} + C\)
d) \(I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)
Ví dụ 3: Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau: \(I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}\)
Đặt: \(t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.\)
Từ đó ta được: \(I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C\)
\(= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C\)
Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau: \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\).
Lời giải
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} – 5x – 2} \right)} \,dx = {x^3} – \frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + C.\)
Ví dụ 2: Dựa vào bang nguyen ham cơ bản ở trên, hãy tính các nguyen ham sau:
a) \(I = \int {{x^8}}dx\)
b) \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\)
c) \(I=\int \frac{1}{x^5}dx\)
d) \(I=\int\frac{1}{2x}dx\)
Lời giải
a) \(I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C}\)b) \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }\)
c) \(I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ – 5}}dx = \frac{1}{{ – 5 + 1}}{x^{ – 5 + 1}} + C = } } – \frac{1}{4}{x^{ – 4}} + C\)
d) \(I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)
Ví dụ 3: Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau: \(I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}\)
Lời giải
Đặt: \(t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.\)
Từ đó ta được: \(I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C\)
\(= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C\)
Sửa lần cuối: