I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Lệnh tính đạo hàm cấp 1:
2. Công thức tính đạo hàm cấp 2: $y''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{y'\left( {{x_0} + 0.000001} \right) - y'\left( {{x_0}} \right)}}{{0.000001}}$
3. Dự đoán công thức đạo hàm bậc n:
1. Lệnh tính đạo hàm cấp 1:
2. Công thức tính đạo hàm cấp 2: $y''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{y'\left( {{x_0} + 0.000001} \right) - y'\left( {{x_0}} \right)}}{{0.000001}}$
3. Dự đoán công thức đạo hàm bậc n:
- Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, đạo hàm cấp 3
- Bước 2: Tìm quy luật về dấu, về hệ số, về số biến, về số mũ rồi rút ra công thức tổng quát.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1]
Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{{4^x}}}$
A. $y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}$
B. $y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}$
C. $y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{{x^2}}}}}$
D. $y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{{x^2}}}}}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOChọn x= 1.25 rồi tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{{4^x}}}$
Ta có : $y'\left( {1.25} \right) = - 0.3746...$. Sử dụng lệnh tính tích phân ta có :
Nếu đáp án A đúng thì y’(1.25) cũng phải giống y’ ở trên . Sử dụng lệnh tính giá trị CALC ta có
Ta thấy giống hệt nhau $ \Rightarrow $ Rõ ràng đáp án đúng là A
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Cho hàm số $y = {e^x}\left( {3 - {x^2}} \right)$ . Đạo hàm của hàm số triệt tiêu tại các điểm :
A. x=1, x=-3
B. x=1, x=3
C. x=-1, x=3
D. x=0
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOTa hiểu : Đạo hàm bị triệt tiêu tại điểm $x = {x_0}$ tức là $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$
Xét $f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow x = 1$ thỏa $ \Rightarrow $ Đáp số đúng là A hoặc B
Xét $f'\left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow x = - 3$ thỏa $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Bài 3-[Thi HK1 THPT Kim Liên – Hà Nội]
Cho hàm số $y = 2016.{e^{x.\ln \frac{1}{8}}}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. y’+2yln2 =0
B. y’+3yln2 =0
C. y’-8yln2 =0
D. y’-8yln2 =0
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOChọn x= 1.25 rồi tính đạo hàm của hàm số $y = 2016.{e^{x.\ln \frac{1}{8}}}$. Ta có: $y'\left( {1.25} \right) = - 0.3746...$. Lưu giá trị này vào biến A cho gọn.
Tính giá trị của y tại x= 1.25 . Ta có y (1.25)= Nếu đáp án A đúng thì y’ (1.25) cũng phải giống y’ ở trên . Sử dụng lệnh tính giá trị CALC ta có
Ta thấy $\frac{A}{{B\ln 2}} = - 3 \Rightarrow A + 3B\ln 2 = 0$ $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B
Bài 4-[Thi thử THPT Quảng Xương –Thanh Hóa lần 1]
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau $y = {\left( {1 - 2x} \right)^4}$ tại điểm x=2 là /
A. 81
B. 432
C. 108
D. -216
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOÁp dụng công thức $f''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f'\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta {x_0}}}$
Chọn $\Delta x = 0.000001$ rồi tính đạo hàm của hàm số $y = {\left( {1 - 2x} \right)^4}$. Tính $y'\left( {2 + 0,000001} \right) = A$.
Tính f’(2)=0.
Lắp vào công thức $f''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f'\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta {x_0}}} = 432 \Rightarrow $Đáp số chính xác là B
Bài 5-[Thi Học sinh giỏi tính Phú Thọ]
Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^x}.\sin x$ . Tính $f''\left( 0 \right)$
A. -2e
B. 1
C. 2
D. 2e
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOÁp dụng công thức $f''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f'\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta {x_0}}}$
Chọn $\Delta x = 0.000001$ rồi tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}.\sin x$. Tính $y'\left( {0 + 0,001} \right) = A$.
(Chú ý bài toán có yếu tố lượng giác phải chuyển máy tính về chế độ Rađian)
Tính f’(0)=B.
Lắp vào công thức $f''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f'\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta {x_0}}} = 2 \Rightarrow $Đáp số chính xác là C
Bài 6-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình]
Cho hàm số $y = {e^{ - x}}\sin x$ , đặt $F = y'' + 2y'$ khẳng định nào sau đây đúng ?
A. F= -2y
B. F= y
C. F= -y
D. F= 2y
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOÁp dụng công thức $f''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f'\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta {x_0}}}$
Chọn x=2, $\Delta x = 0.000001$ rồi tính đạo hàm của hàm số $y = {e^{ - x}}\sin x$. Tính $y'\left( {2 + 0,001} \right) = A$.
Tính f’(0) = B .
Lắp vào công thức $f''\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f'\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta {x_0}}} = C$
Tính $F = y'' + 2y' = C + 2B = - 0.2461... = - 2y$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Bài 7: Một vật chuyển động theo quy luật $S = - \frac{1}{2}{t^3} + 9{t^2}$ với thời gian t(s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S(m) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 (s) kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 216 (m/s)
B. 30 (m/s)
C. 400 (m/s)
D. 54 (m/s)
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOTa hiểu : trong chuyển động biến đổi theo thời gian thì quãng đường là nguyên hàm của vận tốc hay nói cách khác, vận tốc là đạo hàm của quãng đường $ \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t$
Để tìm giá trị lớn nhất của v(t) trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 (s) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 10 Step 1
Ta thấy ngay vận tốc lớn nhất là 54 (m/s) đạt được tại giay thứ 6
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Bài 8: Một vật rơi tự do theo phương trình $S = \frac{1}{2}g{t^2}$ với $g = 9.8\left( {m/{s^2}} \right)$ . Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t= 5s là :
A. 122.5 (m/s)
B. 29.5(m/s)
C. 10 (m/s)
D. 49 (m/s)
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOTa hiểu : Vận tốc tức thời trong chuyển động biến đổi tại thời điểm $t = {t_1}$ có giá trị là $S\left( {{t_1}} \right)$
Ta thấy vận tốc tại ${t_1} = 5$ là 49=> Đáp số chính xác là D-
Bài 61-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1]
Tính đạo hàm của hàm số $y = {13^x}$
A. $y' = x{.13^{x - 1}}$
B. $y' = {13^x}.ln13$
C. $y' = {13^x}$
D. $y' = \frac{{{{13}^x}}}{{\ln 13}}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Chọn x= 2 . Tính $y'\left( 2 \right) = 433.4764... = {13^2}.\ln 13 \Rightarrow $ Đáp án chính xác là BBài 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Đạo hàm của hàm số $y = {2^x}{.3^x}$ bằng :
A. ${6^x}\ln 6$
B. ${6^x}$
C. ${2^x} + {3^x}$
D. ${2^{x - 1}} + {3^{x - 1}}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Chọn x=3 tính $y'\left( 3 \right) = 387.0200... = {6^3}\ln 6 \Rightarrow $ Đáp số chính xác là ABài 8-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1]
Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln \left| {\cos 3x} \right|$ giá trị $f'\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)$ bằng :
A.-3
B. 3
C. 2
D. 1
Học Lớp hướng dẫn giải
Tính $\left( {\ln \left| {\cos 3x} \right|} \right)' = \frac{1}{{\left| {\cos 3x} \right|}}\left( {\left| {\cos 3x} \right|} \right)'$Tính $\left( {\left| {\cos 3x} \right|} \right)' = \left( {\sqrt {{{\cos }^2}3x} } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt {{{\cos }^2}3x} }}\left( {{{\cos }^2}3x} \right)' = \frac{{ - 3\cos 3x\sin 3x}}{{\left| {\cos 3x} \right|}}$
$ \Rightarrow $ $\left( {\ln \left| {\cos 3x} \right|} \right)' = \frac{{ - 3\sin 3x\cos 3x}}{{{{\left| {\cos 3x} \right|}^2}}}$
$ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Bài 9: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x$ . Khi đó tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right) \le 0$ là :
A. $\left( {0; + \propto } \right)$
B. $\left[ { - 2;2} \right]$
C. $\left( { - \propto ; + \propto } \right)$
D.Không có m thỏa
Học Lớp hướng dẫn giải
Tính $y' = {x^2} + x + 1$ . $y' \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 \le 0$Nhẩm được luôn hoặc sử dụng tính năng giải bất phương trình MODE INEQ
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Bài 10: Cho hàm số $f\left( x \right) = x.{e^{{x^2}}}$ . Khi đó f’’(1) bằng :
A. 10e
B. 6e
C. $4{e^2}$
D. 10
Học Lớp hướng dẫn giải
Tính f’(1+0.000001) rồi lưu vào ATính f’(1) rồi lưu vào B
Thiết lập $y'' = \frac{{f'\left( {1 + 0.000001} \right) - f'\left( 1 \right)}}{{0.000001}} = 27.1828... = 10{\rm{e}}$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Bài 11: Tính vi phân của hàm số y= sinx tại điểm ${x_0} = \frac{\pi }{3}$
A. $dy = \frac{{\sqrt 3 }}{2}dx$
B. $dy = \frac{1}{2}dx$
C. $dy = \cos xdx$
D. $dy = - coxdx$
Học Lớp hướng dẫn giải
Từ y= sinx tiến hành vi phân 2 vế : $\left( {y'} \right)dy = \left( {\sin x} \right)'dx \Leftrightarrow dy = \left( {\sin x} \right)'dx$Tính $\left( {\sin x} \right)'$ tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Bài 12: Đồ thị hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} - x + 3$ có điểm uốn I (-2, 1) khi
A. $a = - \frac{1}{4};b = - \frac{3}{2}$
B. $a = - \frac{3}{2};b = - 1$
C. $a = \frac{1}{4};b = \frac{3}{2}$
D. $a = \frac{1}{4};b = - \frac{3}{2}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình y’’=0Tính $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$ $ \Rightarrow y'' = 6ax + 2b$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{{2b}}{{6a}} = - 2 \Leftrightarrow b = 6a$ $ \Rightarrow $ Đáp số đúng là A hoặc C
Với $a = - \frac{1}{4};b = - \frac{3}{2}$ tính tung độ của điểm uốn : $y\left( 2 \right) = 1$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Sửa lần cuối: