I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Chuyển số phức về dạng lượng giác
Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$
Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3
Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + \sqrt 3 i$ )
Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $\varphi = \frac{\pi }{3}$
II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - z + 1 = 0$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng :
A.0
B.1
C. 2
D.4
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} - z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP
$ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác
Câu 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$ :
A. ${2^{1009}}$
B.0
C. ${2^{2017}}$
D. ${2^{1008}}$
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017)
Cách Casio 1
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = - 1 + i$ và ${z_2} = - 1 - i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${\left( { - 1 + i} \right)^4} = - 4$ , ${\left( { - 1 - i} \right)^4} = - 4$
Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {\left( { - 1 + i} \right)^{2016}} + {\left( { - 1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( { - 1 + i} \right)}^4}} \right]^{504}} + {\left[ {{{\left( { - 1 - i} \right)}^4}} \right]^{504}}$
$ = {\left( { - 4} \right)^{504}} + {\left( { - 4} \right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$
$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác
Cách Casio 2
Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm ${\left( { - 1 \pm i} \right)^4}$ ta có thể xử lý $ - 1 \pm i$ bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3
Với ${z_1} = - 1 + i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$
Ta nhận được $r = \sqrt 2 $ và góc $\varphi = \frac{{3\pi }}{4}$
$ \Rightarrow {z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow z_1^{2016} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2016}}\left( {\cos 2016.\frac{{3\pi }}{4} + i\sin 2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos \left( {2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i.\sin \left( {2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
$z_1^{2016} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2016}} = {2^{1008}}$
Tương tự $z_2^{2016} = {2^{1008}} \Rightarrow T = {2^{1009}}$
Câu 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$ . Tính tổng : $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.T=4
B. $T = 2\sqrt 3 $
C. $T = 4 + 2\sqrt 3 $
D. $T = 2 + 2\sqrt 3 $
(Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} - t - 12 = 0$
Vậy $\left[ \begin{array}{l}
t = 4\\
t = - 3
\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 4\\
{z^2} = - 3
\end{array} \right.$
Với \[{{\rm{z}}^2} = 4 \Rightarrow z = \pm 2\]
Với ${z^2} = - 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 3 i$ với ${i^2} = - 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = - 3 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$
Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = \pm 1\,,\,z = \pm \sqrt 3 i$
Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Câu 4- Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + \left( {i + 1} \right){z^2} + \left( {i + 1} \right)z + i = 0$
A.z=-I
B. $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C. $z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D.Cả A, B, C đều đúng
(Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017)
Cách Casio
Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC
Vậy z=-i là nghiệm
Tiếp tục kiểm tra $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.
Vậy $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
Cách tự luận
Để giải phương trình số phức xuất hiện số trong đó ta không thể sử dụng chức năng MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung
Phương trình $ \Leftrightarrow {z^3} + {z^2} + z + \left( {{z^2} + z + 1} \right)i = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {z + i} \right)\left( {{z^2} + z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - i\\
{z^2} + z + 1 = 0
\end{array} \right.$
Phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$ không chứa số i nên ta có thể sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình MODE 5
Tóm lại phương trình có 3 nghiệm $z = - i\,;\,z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,;\,z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D là đáp án chính xác
Câu 5. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + \sqrt 3 \,;{z_2} = 1 - \sqrt 3 $
A. ${z^2} + i\sqrt 3 z + 1 = 0$
B. ${z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0$
C. ${z^2} - 2{\rm{z}} + 4 = 0$
D. ${z^2} - 2{\rm{z}} - 4 = 0$
(Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017)
Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức )
$\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\
{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.$
Tính ${z_1} + {z_2} = 2$
Tính ${z_1}{z_2} = 4$
Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 4 = 0$ có $ - \frac{b}{a} = 2$ và $\frac{c}{a} = 4$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 6. Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :
A.2
B.1
C. 0
D.Vô số
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)
Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $\Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $\Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\] có 1 nghiệm duy nhất nếu $\Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $\left[ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.$
Vậy ta chỉ cần tính $\Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $\Delta = {i^2} - 4 = - 5$ là một đại lượng $ < 0$ vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
Đáp số chính xác là A
Câu 7. Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết $z = \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^{10}}{{\left( {\sqrt 3 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right)}^{10}}}}$
A.-1+i
B.1
C.3-2i
D. ${2^5}i$
Để xử lý số phức bậc cao (>3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$
Tính ${z_1} = 1 - i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$. Để tính r và $\varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3
Vậy ${z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ - \pi }}{4} + i\sin \frac{{ - \pi }}{4}} \right)$ $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ - \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ - \pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos 10.\frac{{ - \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ - \pi }}{4}$
Vậy $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}.i = {2^5}.i$
Tương tự $z_2^5 = {2^5}\left( {\cos 5.\frac{\pi }{6} + i\sin 5.\frac{\pi }{6}} \right) = {2^5}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
$z_3^{10} = {2^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ - 2\pi }}{3} + i\sin 10.\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = {2^{10}}\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$
Tổng hợp $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = \frac{{{2^5}i{{.2}^5}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)}}{{{2^{10}}\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$
Vậy z=1 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Câu 8. Cho phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 17 = 0$ có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ là :
A. $2\sqrt {17} $ B. $2\sqrt {13} $ C. $2\sqrt {10} $ D. $2\sqrt {15} $ (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017)
Cách Casio
Tìm hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 17 = 0$
Tính tổng hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP
Vậy $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {17} $ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 10. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
A. $2\sqrt {10} $
B.20
C. $5\sqrt 2 $
D. $10\sqrt 3 $
(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)
Cách Casio
Tìm hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$
Tính tổng bình phương hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP
Vậy $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Câu 11. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
A.T=0
B. $T = 3\sqrt 3 $
C.T=9
D.T=3
(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017)
Cách Casio
Tính nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ bằng chức năng MODE 5 4
Vậy ${z_1} = - 3,{z_2} = \frac{3}{2} + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}i,{z_3} = \frac{3}{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}i$
Tính tổng môđun $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
Vậy T=9 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{\rm{z}}^4} - 3{{\rm{z}}^2} - 2 = 0$ . Tính tổng sau $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.5
B. $5\sqrt 2 $
C. $3\sqrt 2 $
D. $\sqrt 2 $
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Đặt $t = {z^2}$ . Tìm nghiệm của phương trình $2{t^2} - 3t - 2 = 0$
Vậy $\left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 2\\
{z^2} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Với ${z^2} = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt 2 $
Với ${z^2} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {z^2} = \frac{{{i^2}}}{2} \Rightarrow z = \pm \frac{i}{{\sqrt 2 }}$
Tính tổng môđun $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
Vậy $T = 3\sqrt 2 $ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :
A. $S = \left\{ 1 \right\}$
B. $S = \left\{ {1;\frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
D. $S = \left\{ { - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Giải phương trình bậc ba ${z^3} - 1 = 0$ với chức năng MODE 54
Phương trình có 3 nghiệm ${x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,{x_3} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + \frac{1}{{{z^{2009}}}}$
A.P=1
B.P=0
C. $P = - \frac{5}{2}$
D. $P = \frac{7}{4}$
Cách Casio
Quy đồng phương trình $z + \frac{1}{z} = 0$ ta được phương trình bậc hai ${z^2} - z + 1 = 0$. Tính nghiệm phương trình này với chức năng MODE 5 3
Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được
Với $z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ ta chuyển về dạng lượng giác $ \Rightarrow z = 1\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$
Vậy $ \Rightarrow {z^{2009}} = {1^{2009}}\left( {\cos 2009.\frac{\pi }{3} + i\sin 2009.\frac{\pi }{3}} \right) = \left( {\cos 2009.\frac{\pi }{3} + i\sin 2009.\frac{\pi }{3}} \right)$
Tính ${z^{2009}}$ và lưu và biến A
Tổng kết $P = A + \frac{1}{A} = 1$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
1. Chuyển số phức về dạng lượng giác
Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$
Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3
Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + \sqrt 3 i$ )
Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $\varphi = \frac{\pi }{3}$
II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - z + 1 = 0$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng :
A.0
B.1
C. 2
D.4
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} - z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP
$ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác
Câu 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$ :
A. ${2^{1009}}$
B.0
C. ${2^{2017}}$
D. ${2^{1008}}$
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017)
Cách Casio 1
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = - 1 + i$ và ${z_2} = - 1 - i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${\left( { - 1 + i} \right)^4} = - 4$ , ${\left( { - 1 - i} \right)^4} = - 4$
Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {\left( { - 1 + i} \right)^{2016}} + {\left( { - 1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( { - 1 + i} \right)}^4}} \right]^{504}} + {\left[ {{{\left( { - 1 - i} \right)}^4}} \right]^{504}}$
$ = {\left( { - 4} \right)^{504}} + {\left( { - 4} \right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$
$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác
Cách Casio 2
Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm ${\left( { - 1 \pm i} \right)^4}$ ta có thể xử lý $ - 1 \pm i$ bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3
Với ${z_1} = - 1 + i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$
Ta nhận được $r = \sqrt 2 $ và góc $\varphi = \frac{{3\pi }}{4}$
$ \Rightarrow {z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow z_1^{2016} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2016}}\left( {\cos 2016.\frac{{3\pi }}{4} + i\sin 2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos \left( {2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i.\sin \left( {2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
$z_1^{2016} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2016}} = {2^{1008}}$
Tương tự $z_2^{2016} = {2^{1008}} \Rightarrow T = {2^{1009}}$
Câu 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$ . Tính tổng : $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.T=4
B. $T = 2\sqrt 3 $
C. $T = 4 + 2\sqrt 3 $
D. $T = 2 + 2\sqrt 3 $
(Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} - t - 12 = 0$
Vậy $\left[ \begin{array}{l}
t = 4\\
t = - 3
\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 4\\
{z^2} = - 3
\end{array} \right.$
Với \[{{\rm{z}}^2} = 4 \Rightarrow z = \pm 2\]
Với ${z^2} = - 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 3 i$ với ${i^2} = - 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = - 3 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$
Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = \pm 1\,,\,z = \pm \sqrt 3 i$
Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Câu 4- Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + \left( {i + 1} \right){z^2} + \left( {i + 1} \right)z + i = 0$
A.z=-I
B. $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C. $z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D.Cả A, B, C đều đúng
(Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017)
Cách Casio
Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC
Vậy z=-i là nghiệm
Tiếp tục kiểm tra $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.
Vậy $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
Cách tự luận
Để giải phương trình số phức xuất hiện số trong đó ta không thể sử dụng chức năng MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung
Phương trình $ \Leftrightarrow {z^3} + {z^2} + z + \left( {{z^2} + z + 1} \right)i = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {z + i} \right)\left( {{z^2} + z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - i\\
{z^2} + z + 1 = 0
\end{array} \right.$
Phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$ không chứa số i nên ta có thể sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình MODE 5
Tóm lại phương trình có 3 nghiệm $z = - i\,;\,z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,;\,z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D là đáp án chính xác
Câu 5. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + \sqrt 3 \,;{z_2} = 1 - \sqrt 3 $
A. ${z^2} + i\sqrt 3 z + 1 = 0$
B. ${z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0$
C. ${z^2} - 2{\rm{z}} + 4 = 0$
D. ${z^2} - 2{\rm{z}} - 4 = 0$
(Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017)
Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức )
$\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\
{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.$
Tính ${z_1} + {z_2} = 2$
Tính ${z_1}{z_2} = 4$
Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 4 = 0$ có $ - \frac{b}{a} = 2$ và $\frac{c}{a} = 4$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 6. Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :
A.2
B.1
C. 0
D.Vô số
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)
Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $\Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $\Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\] có 1 nghiệm duy nhất nếu $\Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $\left[ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.$
Vậy ta chỉ cần tính $\Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $\Delta = {i^2} - 4 = - 5$ là một đại lượng $ < 0$ vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
Đáp số chính xác là A
Câu 7. Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết $z = \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^{10}}{{\left( {\sqrt 3 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right)}^{10}}}}$
A.-1+i
B.1
C.3-2i
D. ${2^5}i$
Để xử lý số phức bậc cao (>3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$
Tính ${z_1} = 1 - i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$. Để tính r và $\varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3
Vậy ${z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ - \pi }}{4} + i\sin \frac{{ - \pi }}{4}} \right)$ $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ - \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ - \pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos 10.\frac{{ - \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ - \pi }}{4}$
Vậy $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}.i = {2^5}.i$
Tương tự $z_2^5 = {2^5}\left( {\cos 5.\frac{\pi }{6} + i\sin 5.\frac{\pi }{6}} \right) = {2^5}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
$z_3^{10} = {2^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ - 2\pi }}{3} + i\sin 10.\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = {2^{10}}\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$
Tổng hợp $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = \frac{{{2^5}i{{.2}^5}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)}}{{{2^{10}}\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$
Vậy z=1 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Câu 8. Cho phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 17 = 0$ có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ là :
A. $2\sqrt {17} $ B. $2\sqrt {13} $ C. $2\sqrt {10} $ D. $2\sqrt {15} $ (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017)
Cách Casio
Tìm hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 17 = 0$
Tính tổng hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP
Vậy $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {17} $ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 10. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
A. $2\sqrt {10} $
B.20
C. $5\sqrt 2 $
D. $10\sqrt 3 $
(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)
Cách Casio
Tìm hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$
Tính tổng bình phương hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP
Vậy $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Câu 11. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
A.T=0
B. $T = 3\sqrt 3 $
C.T=9
D.T=3
(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017)
Cách Casio
Tính nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ bằng chức năng MODE 5 4
Vậy ${z_1} = - 3,{z_2} = \frac{3}{2} + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}i,{z_3} = \frac{3}{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}i$
Tính tổng môđun $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
Vậy T=9 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{\rm{z}}^4} - 3{{\rm{z}}^2} - 2 = 0$ . Tính tổng sau $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.5
B. $5\sqrt 2 $
C. $3\sqrt 2 $
D. $\sqrt 2 $
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Đặt $t = {z^2}$ . Tìm nghiệm của phương trình $2{t^2} - 3t - 2 = 0$
Vậy $\left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 2\\
{z^2} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Với ${z^2} = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt 2 $
Với ${z^2} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {z^2} = \frac{{{i^2}}}{2} \Rightarrow z = \pm \frac{i}{{\sqrt 2 }}$
Tính tổng môđun $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
Vậy $T = 3\sqrt 2 $ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :
A. $S = \left\{ 1 \right\}$
B. $S = \left\{ {1;\frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
D. $S = \left\{ { - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Giải phương trình bậc ba ${z^3} - 1 = 0$ với chức năng MODE 54
Phương trình có 3 nghiệm ${x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,{x_3} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + \frac{1}{{{z^{2009}}}}$
A.P=1
B.P=0
C. $P = - \frac{5}{2}$
D. $P = \frac{7}{4}$
Cách Casio
Quy đồng phương trình $z + \frac{1}{z} = 0$ ta được phương trình bậc hai ${z^2} - z + 1 = 0$. Tính nghiệm phương trình này với chức năng MODE 5 3
Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được
Với $z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ ta chuyển về dạng lượng giác $ \Rightarrow z = 1\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$
Vậy $ \Rightarrow {z^{2009}} = {1^{2009}}\left( {\cos 2009.\frac{\pi }{3} + i\sin 2009.\frac{\pi }{3}} \right) = \left( {\cos 2009.\frac{\pi }{3} + i\sin 2009.\frac{\pi }{3}} \right)$
Tính ${z^{2009}}$ và lưu và biến A
Tổng kết $P = A + \frac{1}{A} = 1$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Sửa lần cuối: