Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn \(\left | z\right |\leq 1\) Đặt \(A = \frac{{2z - 1}}{{2 + iz}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\left | A\right |\leq 1\)
B. \(\left | A\right |\geq 1\)
C. \(\left | A\right |< 1\)
D. \(\left | A\right |> 1\)
Câu 2:
Tập hợp tất cả các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là một đường tròn. Gọi I là tâm của đường tròn này, tìm tọa độ điểm I.
A. \(I(0; - 1)\)
B. \(I(0; 1)\)
C. \(I(1; 0)\)
D. \(I(-1;0)\)
Câu 3:
Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) (qui ước: \(z_1\) là số phức có phần ảo lớn hơn) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} z.\bar z = 1\\ \left| {{z^2} + 2\bar z - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} \end{array} \right..\) Tính giá trị của \(S = 3{z_1} + 6{z_2}.\)
A. \(S = 6 + \sqrt 5 i\)
B. \(S = -6 + \sqrt 5 i\)
C. \(S = -6 - \sqrt 5 i\)
D. \(S = 6 - \sqrt 5 i\)
Câu 4:
Cho số phức \(z = 6 + 7i.\) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức.
A. M(6;7).
B. M(-6;7).
C. M(-6;-7).
D. M(6;-7).
Câu 5:
Tìm số phức z biết \(\left| z \right| = 5\) và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.
A. \({z_1} = - 4 - 3i\); \({z_2} = 3 + 4i.\)
B. \({z_1} = 4 + 3i\); \({z_2} = -3 - 4i.\)
C. \({z_1} = 3-4i;\) \({z_2} = 4-3i.\)
D. \({z_1} =4+3i;\) \({z_2} = -4-3i.\)
Câu 6:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}}\), trong đó z là số phức thỏa mãn \( \left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z. \). Gọi N là điểm trong mặt phẳng sau cho \(\left( {\overrightarrow {Ox} ;\overrightarrow {ON} } \right) = 2\varphi \), trong đó \(\varphi = \left( {\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} } \right)\) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia \(\overrightarrow {OM} \). Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư (IV)
B. Góc phần tư (I)
C. Góc phần tư (II)
D. Góc phần tư (III)
Câu 7:
Cho A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn \({z^3} + i = 0\). Tìm phát biểu sai?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có trọng tâm là O(0;0).
C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O(0;0).
D. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 8:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {0;4} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {1; - 1} \right).\) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(z=2-i\)
B. \(z = 3 + \frac{3}{2}i\)
C. \(z=2+i\)
D. \(z = 3 - \frac{3}{2}i\)
Câu 9:
Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right|,w = iz + 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left | w \right |\)
A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B. 2
C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
D. \(2\sqrt{2}\)
Câu 10:
Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức \({\rm{w}} = \frac{i}{{\overline z }}\)?
A.
B.
C.
D.
Câu 11:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2\) và \(z^2\) là số thuần ảo.
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Câu 12:
Cho số phức \(z = 5 - 4i\). Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:
A. \(\left( { - 5;4} \right)\)
B. \(\left( { - 5; - 4} \right)\)
C. \(\left( {5; - 4} \right)\)
D. \(\left( {5;4} \right)\)
Câu 13:
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = 5\)
C. \(\left| z \right| = 4\)
D. \(\left| z \right| = - 4\)
Câu 14:
Cho \(z\in C\) thỏa mãn \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i\). Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = (3 - 4i)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm I và R.
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Câu 15:
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left | z \right |=2\) Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. \(r=20\)
B. \(r=\sqrt{20}\)
C. \(r=\sqrt{7}\)
D. \(r=7\)
Câu 16:
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right|\) là đường nào trong các đường dưới đây?
A. Đường tròn.
B. Đường thẳng.
C. Đường Parabol.
D. Đường elip.
Câu 17:
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai số phức thỏa mãn phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|,\) biết \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\)
A. \(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \(P = \sqrt 2 .\)
C. \(P = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
D. \(P = \sqrt 3 .\)
Đặt \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}),\) ta có \(2z - i = 2x + 2(y - 1)i\) và \(2 + iz = 2 - y + xi.\)
Khi đó:
\(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + {{(2y - 1)}^2}} = \sqrt {{{(y - 2)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z{}_1} \right| = 1\\\left| {z{}_2} \right| = 1\end{array} \right.\)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) là đường tròn tâm O, \(R = 1.\)
Gọi\({M_1}({z_1}),{M_2}({z_2}) \Rightarrow O{M_1} = O{M_2} = 1.\)
Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right| = 1 \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) đều.
Mà \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\) với M là điểm thỏa mãn \(O{M_1}M{M_2}\) là hình thoi cạnh 1 \( \Rightarrow OM = \sqrt 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 .\)
Cho số phức z thỏa mãn \(\left | z\right |\leq 1\) Đặt \(A = \frac{{2z - 1}}{{2 + iz}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\left | A\right |\leq 1\)
B. \(\left | A\right |\geq 1\)
C. \(\left | A\right |< 1\)
D. \(\left | A\right |> 1\)
Ta có \(A = \frac{{2z - i}}{{2 + iz}} \Leftrightarrow 2A + Aiz = 2z - i \Leftrightarrow 2A + i = 2z - Aiz \Leftrightarrow z = \frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}\)
Mà \(\left| z \right| \le 1 \Rightarrow \left| {\frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A + i} \right|}}{{\left| {2 - Ai} \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| {2A + i} \right| \le \left| {2 - Ai} \right|(*)\)
Đặt \(A = x + yi,\) khi đó (*)
\(\Rightarrow \left| {2x + (2y + 1)i} \right| \le \left| {2 + y - xi} \right| \Rightarrow 4{x^2} + {(2y + 1)^2} \le {(2 + y)^2} + {x^2}\)
\(\Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4y + 1 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 1 \Rightarrow \left| A \right| \le 1.\)
Mà \(\left| z \right| \le 1 \Rightarrow \left| {\frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A + i} \right|}}{{\left| {2 - Ai} \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| {2A + i} \right| \le \left| {2 - Ai} \right|(*)\)
Đặt \(A = x + yi,\) khi đó (*)
\(\Rightarrow \left| {2x + (2y + 1)i} \right| \le \left| {2 + y - xi} \right| \Rightarrow 4{x^2} + {(2y + 1)^2} \le {(2 + y)^2} + {x^2}\)
\(\Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4y + 1 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 1 \Rightarrow \left| A \right| \le 1.\)
Tập hợp tất cả các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là một đường tròn. Gọi I là tâm của đường tròn này, tìm tọa độ điểm I.
A. \(I(0; - 1)\)
B. \(I(0; 1)\)
C. \(I(1; 0)\)
D. \(I(-1;0)\)
Đặt \(z = x + yi\,;\,\,\,x,y \in \mathbb{R}.\)
Ta có: \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + (y - 1)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1.\)
Vậy tâm I(0;1).
Ta có: \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + (y - 1)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1.\)
Vậy tâm I(0;1).
Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) (qui ước: \(z_1\) là số phức có phần ảo lớn hơn) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} z.\bar z = 1\\ \left| {{z^2} + 2\bar z - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} \end{array} \right..\) Tính giá trị của \(S = 3{z_1} + 6{z_2}.\)
A. \(S = 6 + \sqrt 5 i\)
B. \(S = -6 + \sqrt 5 i\)
C. \(S = -6 - \sqrt 5 i\)
D. \(S = 6 - \sqrt 5 i\)
Đặt \(z = x + yi\,\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) suy ra \(\bar z = x - yi.\)
Khi đó ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\\ \left| {{{\left( {x + yi} \right)}^2} + 2\left( {x - yi} \right) - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = 1 - {x^2}\\ 4{x^3} - {x^2} - 2x + \frac{{52}}{{27}} = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ {y^2} = \frac{5}{9} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{13}}{{12}}\\ {y^2} = - \frac{{25}}{{144}} \end{array} \right.\left( L \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ y = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ y = - \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Suy ra \({z_1} = \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 5 }}{3}i,\,\,{z_2} = \frac{2}{3} - \frac{{\sqrt 5 }}{3}i\)
Vậy \(3{z_1} + 6{z_2} = 6 - \sqrt 5 i.\)
Khi đó ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\\ \left| {{{\left( {x + yi} \right)}^2} + 2\left( {x - yi} \right) - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = 1 - {x^2}\\ 4{x^3} - {x^2} - 2x + \frac{{52}}{{27}} = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ {y^2} = \frac{5}{9} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{13}}{{12}}\\ {y^2} = - \frac{{25}}{{144}} \end{array} \right.\left( L \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ y = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ y = - \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Suy ra \({z_1} = \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 5 }}{3}i,\,\,{z_2} = \frac{2}{3} - \frac{{\sqrt 5 }}{3}i\)
Vậy \(3{z_1} + 6{z_2} = 6 - \sqrt 5 i.\)
Cho số phức \(z = 6 + 7i.\) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức.
A. M(6;7).
B. M(-6;7).
C. M(-6;-7).
D. M(6;-7).
Số phức z=a+bi \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M(a;b).
Do đó z=6+7i có điểm biểu diễn là M(6;7).
Do đó z=6+7i có điểm biểu diễn là M(6;7).
Tìm số phức z biết \(\left| z \right| = 5\) và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.
A. \({z_1} = - 4 - 3i\); \({z_2} = 3 + 4i.\)
B. \({z_1} = 4 + 3i\); \({z_2} = -3 - 4i.\)
C. \({z_1} = 3-4i;\) \({z_2} = 4-3i.\)
D. \({z_1} =4+3i;\) \({z_2} = -4-3i.\)
Gọi \(z = a + bi\) với \(a;b \in \mathbb{R}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 5\\ a - b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\\ a = 1 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 + b} \right)^2} + {b^2} = 25\\ a = 1 + b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{b^2} + 2b - 24 = 0\\ a = 1 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 3 \Rightarrow a = 4\\ b = - 4 \Rightarrow a = - 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy số phức cần tìm là \({z_1} = 4 + 3i;{\rm{ }}{z_2} = - 3 - 4i.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 5\\ a - b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\\ a = 1 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 + b} \right)^2} + {b^2} = 25\\ a = 1 + b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{b^2} + 2b - 24 = 0\\ a = 1 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 3 \Rightarrow a = 4\\ b = - 4 \Rightarrow a = - 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy số phức cần tìm là \({z_1} = 4 + 3i;{\rm{ }}{z_2} = - 3 - 4i.\)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}}\), trong đó z là số phức thỏa mãn \( \left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z. \). Gọi N là điểm trong mặt phẳng sau cho \(\left( {\overrightarrow {Ox} ;\overrightarrow {ON} } \right) = 2\varphi \), trong đó \(\varphi = \left( {\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} } \right)\) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia \(\overrightarrow {OM} \). Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư (IV)
B. Góc phần tư (I)
C. Góc phần tư (II)
D. Góc phần tư (III)
\(\left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z \Leftrightarrow - \left( {1 - i} \right)z + 3z = \left( {1 - i} \right).2i - 2 + i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 3i\)
\( \Leftrightarrow z = \frac{{3i}}{{2 + i}} = \frac{{3 + 6i}}{5}\) \( \Rightarrow w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{\frac{{3 + 6i}}{5} - \frac{{3 - 6i}}{5} + 1}}{{{{\left( {\frac{{3 + 6i}}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {5 + 12i} \right).5}}{{ - 27 + 36i}} = \frac{{22 - 56i}}{{45}} = \frac{{13}}{9}\left( {\frac{{33}}{{65}} - \frac{{56}}{{65}}i} \right)\)
Đặt \(\cos \varphi = \frac{{33}}{{65}};\sin \varphi = - \frac{{56}}{{65}}\) với \(\varphi \) là góc tọa bởi \(\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} \)
\( \Rightarrow \cos 2\varphi = 2{\cos ^2}\varphi - 1 = - \frac{{2047}}{{4225}} < 0\); \(\sin 2\varphi = 2\sin \varphi \cos \varphi = 2.\frac{{33}}{{65}}\left( { - \frac{{56}}{{65}}} \right) = - \frac{{3696}}{{4225}} < 0\)
Suy ra N thuộc góc phần tư thứ ba.
\( \Leftrightarrow z = \frac{{3i}}{{2 + i}} = \frac{{3 + 6i}}{5}\) \( \Rightarrow w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{\frac{{3 + 6i}}{5} - \frac{{3 - 6i}}{5} + 1}}{{{{\left( {\frac{{3 + 6i}}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {5 + 12i} \right).5}}{{ - 27 + 36i}} = \frac{{22 - 56i}}{{45}} = \frac{{13}}{9}\left( {\frac{{33}}{{65}} - \frac{{56}}{{65}}i} \right)\)
Đặt \(\cos \varphi = \frac{{33}}{{65}};\sin \varphi = - \frac{{56}}{{65}}\) với \(\varphi \) là góc tọa bởi \(\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} \)
\( \Rightarrow \cos 2\varphi = 2{\cos ^2}\varphi - 1 = - \frac{{2047}}{{4225}} < 0\); \(\sin 2\varphi = 2\sin \varphi \cos \varphi = 2.\frac{{33}}{{65}}\left( { - \frac{{56}}{{65}}} \right) = - \frac{{3696}}{{4225}} < 0\)
Suy ra N thuộc góc phần tư thứ ba.
Cho A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn \({z^3} + i = 0\). Tìm phát biểu sai?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có trọng tâm là O(0;0).
C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O(0;0).
D. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)
Ta có \({z^3} + i = 0 \Leftrightarrow {z^3} - {i^3} = 0 \Leftrightarrow \left( {z - i} \right)\left( {{z^2} + iz + {i^2}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i}\\ {{{\left( {z + \frac{i}{2}} \right)}^2} = \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i}\\ {z = \frac{{ \pm \sqrt 3 }}{2} - \frac{i}{2}} \end{array}} \right.\)
Vậy: \(A\left( {0;1} \right);B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right),C\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right).\)
Do \(AB = BC = CA = \sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên các đáp án A, B, C đúng.
Lại có \({S_{ABC}} = \frac{{\left( {{{\sqrt 3 }^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) nên D sai.
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i}\\ {{{\left( {z + \frac{i}{2}} \right)}^2} = \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i}\\ {z = \frac{{ \pm \sqrt 3 }}{2} - \frac{i}{2}} \end{array}} \right.\)
Vậy: \(A\left( {0;1} \right);B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right),C\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right).\)
Do \(AB = BC = CA = \sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên các đáp án A, B, C đúng.
Lại có \({S_{ABC}} = \frac{{\left( {{{\sqrt 3 }^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) nên D sai.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {0;4} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {1; - 1} \right).\) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(z=2-i\)
B. \(z = 3 + \frac{3}{2}i\)
C. \(z=2+i\)
D. \(z = 3 - \frac{3}{2}i\)
Ta có \(G\left( {\frac{{4 + 1 + 1}}{3};\frac{{0 + 4 - 1}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {2;1} \right) \Rightarrow z = 2 + i.\)
Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right|,w = iz + 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left | w \right |\)
A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B. 2
C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
D. \(2\sqrt{2}\)
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\)
Khi đó \(z + 2 - 2i = a + 2 + \left( {b - 2} \right)i\) và \(z - 4i = a + \left( {b - 4} \right)i\)
Nên ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 - a\)
Khi đó \(w = iz + 1 = \left( {a + bi} \right)i + 1 = 1 - b + ai\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}\)
Dễ thấy
\({a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 2{a^2} - 2a + 1 = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow {\min _{\left| w \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Khi đó \(z + 2 - 2i = a + 2 + \left( {b - 2} \right)i\) và \(z - 4i = a + \left( {b - 4} \right)i\)
Nên ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 - a\)
Khi đó \(w = iz + 1 = \left( {a + bi} \right)i + 1 = 1 - b + ai\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}\)
Dễ thấy
\({a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 2{a^2} - 2a + 1 = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow {\min _{\left| w \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức \({\rm{w}} = \frac{i}{{\overline z }}\)?
A.
B.
C.
D.
Gọi \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}.\)
Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên a,b>0.
Ta có \(w = \frac{i}{{\overline z }} = \frac{i}{{a - bi}} = \frac{{i\left( {a + bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
Do a,b>0 nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} < 0\\ \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow\) điểm biểu diễn số phức \(\omega\) nằm ở góc phần tư thứ hai.
Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên a,b>0.
Ta có \(w = \frac{i}{{\overline z }} = \frac{i}{{a - bi}} = \frac{{i\left( {a + bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
Do a,b>0 nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} < 0\\ \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow\) điểm biểu diễn số phức \(\omega\) nằm ở góc phần tư thứ hai.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2\) và \(z^2\) là số thuần ảo.
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow {z^2} = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 2abi\).
Ta có \(z^2\) là số thuần ảo nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} - {b^2} = 0}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} = {b^2}}\\ {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} = 2} \end{array}}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {b = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {{a^2} = {b^2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\)
Suy ra có bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài.
Ta có \(z^2\) là số thuần ảo nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} - {b^2} = 0}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} = {b^2}}\\ {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} = 2} \end{array}}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {b = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {{a^2} = {b^2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\)
Suy ra có bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài.
Cho số phức \(z = 5 - 4i\). Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:
A. \(\left( { - 5;4} \right)\)
B. \(\left( { - 5; - 4} \right)\)
C. \(\left( {5; - 4} \right)\)
D. \(\left( {5;4} \right)\)
\(z = 5 - 4i \Rightarrow - z = - 5 + 4i\) \( \Rightarrow \) số đối của z có điểm biểu diễn là \(\left( { - 5;4} \right).\)
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = 5\)
C. \(\left| z \right| = 4\)
D. \(\left| z \right| = - 4\)
Ta có \(M\left( {3; - 4} \right) \Rightarrow z = 3 - 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5.\)
Cho \(z\in C\) thỏa mãn \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i\). Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = (3 - 4i)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm I và R.
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Ta có: \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z\)
Ta có bình phương môđun của số phức bên trái biểu thức là \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2}\)
Bình phương môđun của số phức bên phải là \(\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)(Do \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\))
Khi đó \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\).
Đặt \(a=\left | z \right |\) ta có: \({(a + 2)^2} + {(2a - 1)^2} = \frac{{10}}{{{a^2}}}\)
\(\Leftrightarrow 5{a^2} + 5 = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| {w + 1 - 2i} \right| = \left| {(3 - 4i)} \right|.\left| z \right| = 5\)(*)
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\,(x,y \in \mathbb{R})\)
Từ (*) ta có: \(\left| {x + 1 + (y - 2)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 2)^2} = {5^2}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R=5.
Ta có bình phương môđun của số phức bên trái biểu thức là \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2}\)
Bình phương môđun của số phức bên phải là \(\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)(Do \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\))
Khi đó \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\).
Đặt \(a=\left | z \right |\) ta có: \({(a + 2)^2} + {(2a - 1)^2} = \frac{{10}}{{{a^2}}}\)
\(\Leftrightarrow 5{a^2} + 5 = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| {w + 1 - 2i} \right| = \left| {(3 - 4i)} \right|.\left| z \right| = 5\)(*)
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\,(x,y \in \mathbb{R})\)
Từ (*) ta có: \(\left| {x + 1 + (y - 2)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 2)^2} = {5^2}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R=5.
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left | z \right |=2\) Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. \(r=20\)
B. \(r=\sqrt{20}\)
C. \(r=\sqrt{7}\)
D. \(r=7\)
Gọi w=a+bi.
Ta có \(a + bi = 3 - 2i + (2 - i)z \Rightarrow z = \frac{{a - 3 + (b + 2)i}}{{2 - i}} = \frac{{[a - 3 + (b + 2)i](2 + 1)}}{5}\)
\(= \left( {\frac{{2a - b - 8}}{5}} \right) + \left( {\frac{{a + 2b + 1}}{5}} \right)i\) .
Mặc khác: \(\left |z \right |=2\) nên
\({\left( {\frac{{2a - b - 8}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + 2b + 1}}{5}} \right)^2} = {2^2} \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} = 20\)
\(\Rightarrow R = \sqrt {20} .\)
Ta có \(a + bi = 3 - 2i + (2 - i)z \Rightarrow z = \frac{{a - 3 + (b + 2)i}}{{2 - i}} = \frac{{[a - 3 + (b + 2)i](2 + 1)}}{5}\)
\(= \left( {\frac{{2a - b - 8}}{5}} \right) + \left( {\frac{{a + 2b + 1}}{5}} \right)i\) .
Mặc khác: \(\left |z \right |=2\) nên
\({\left( {\frac{{2a - b - 8}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + 2b + 1}}{5}} \right)^2} = {2^2} \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} = 20\)
\(\Rightarrow R = \sqrt {20} .\)
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right|\) là đường nào trong các đường dưới đây?
A. Đường tròn.
B. Đường thẳng.
C. Đường Parabol.
D. Đường elip.
Giả sử \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}).\)
Ta có \(\left| {z - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right|\)
\(\Rightarrow {(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\)
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm (-2;1) bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
Ta có \(\left| {z - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right|\)
\(\Rightarrow {(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\)
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm (-2;1) bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai số phức thỏa mãn phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|,\) biết \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\)
A. \(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \(P = \sqrt 2 .\)
C. \(P = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
D. \(P = \sqrt 3 .\)
Đặt \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}),\) ta có \(2z - i = 2x + 2(y - 1)i\) và \(2 + iz = 2 - y + xi.\)
Khi đó:
\(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + {{(2y - 1)}^2}} = \sqrt {{{(y - 2)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z{}_1} \right| = 1\\\left| {z{}_2} \right| = 1\end{array} \right.\)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) là đường tròn tâm O, \(R = 1.\)
Gọi\({M_1}({z_1}),{M_2}({z_2}) \Rightarrow O{M_1} = O{M_2} = 1.\)
Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right| = 1 \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) đều.
Mà \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\) với M là điểm thỏa mãn \(O{M_1}M{M_2}\) là hình thoi cạnh 1 \( \Rightarrow OM = \sqrt 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 .\)