Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0,\) \(\left( Q \right):2x + y + z - 1 = 0.\) Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A. \(r=\sqrt{2}\)
B. \(r=\sqrt{\frac{5}{2}}\)
C. \(r=\sqrt{3}\)
D. \(r=\sqrt{\frac{7}{2}}\)

Gọi I là tâm của (S) và r là bán kính của (S), ta có: \({R^2} = {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {2^2} = {d^2}\left( {I;\left( Q \right)} \right) + {r^2}\)
Gọi I(x;0;0) thì ta có:
\(\begin{array}{l} {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {2^2} = {d^2}\left( {I;\left( Q \right)} \right) + {r^2} \Rightarrow {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2x - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} + {2^2} - {r^2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 4{x^2} + 4x - 1}}{6} + {2^2} - {r^2} = 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{ - 3{x^2} + 6x}}{6} + {2^2} - {r^2} = 0\)
\(\Leftrightarrow - \frac{1}{2}{x^2} + x + {2^2} - {r^2} = 0\,(*)\)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm r > 0 để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm.
Xét phương trình (*): \(\Delta = 1 + 2({2^2} - {r^2}) = 5 - 2{r^2}\)
\(\Delta = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{5}{2}\,} \,\,(do\,\,r > 0).\)