Với giá trị nào của m thì \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng \(2\pi\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - {m^2} = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 6y - 2z - 2 = 0\). Với giá trị nào của m thì \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng \(2\pi\)?
A. \(m = \pm \frac{{\sqrt {35} }}{7}\)
B. \(m = \pm \frac{{\sqrt {55} }}{7}\)
C. \(m = \pm \frac{{\sqrt {65} }}{7}\)
D. \(m = 0\)

Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;1), bán kính \(R = \sqrt {1 + {m^2}}\).
Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của \(\left ( \alpha \right )\) và \((S)\) có bán kính r.
Diện tích hình tròn (C) là: \(2\pi \Rightarrow r = \sqrt 2\)
Ta có: \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = \frac{4}{7} \Leftrightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {65} }}{7}\)