Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;1;1} \right),B\left( {0;1;4} \right),C\left( { - 1; - 3;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 4 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3.\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9.\)
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3.\)

Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC\\ I \in \left( P \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\ a + b - 2c + 4 = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a - 6c = - 6\\ 8a + 8b = 0\\ a + b - 2c + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 1\\ c = 2 \end{array} \right.\)
Vậy I(1;-1;2) và bán kính R=IA=3.
Vậy phương trình của mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.\)