Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 3 = 0\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Cho điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 3 = 0\) với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2.
A. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\)
B. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 24\)
C. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\)
D. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\)

Vì mặt cầu cắt mặt phẳng (P) với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2 \(\Rightarrow\) bán kính của hình tròn là \(r = \frac{2}{2} = 1\).
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là \(h = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\sqrt 6\).
Khi đó bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2}} = 5\)
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\)