Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng...

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 1\\ z = - t \end{array} \right.,t \in \mathbb{R} và 2 mặt phẳng (\alpha ):x + 2y + 2z + 3 = 0 và \left( \beta \right):x + 2y + 2z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng \left ( \alpha \right ) và \left ( \beta \right ).
A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\)
B. \({x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = \frac{4}{9}\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{4}{9}\)
D. \({x^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = \frac{4}{9}\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I \in d \Rightarrow I(t; - 1; - t)\)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) nên:
\(\begin{array}{l} d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I,\left( \beta \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - t} \right|}}{3} = \frac{{\left| {5 - t} \right|}}{3} \Leftrightarrow t = 3\\ \Rightarrow R = \frac{2}{3},\,\,\,I(3; - 1;3) \end{array}\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
\((S):{\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\)