Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ \,y = - 1\\ \,z = - t \end{array} \right.\) và 2 mp (P): \(x + 2y + 2z + 3 = 0\) và (Q): \(x + 2y + 2z + 7 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)

\(I \in (d) \Rightarrow I(t;-1;-t)\)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (Q)
\(\Rightarrow d(I,(P))=d(I,(Q))\)
\(\Rightarrow \frac{\begin{vmatrix} t-2-2t+3 \end{vmatrix}}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{\begin{vmatrix} t-2-2t+7 \end{vmatrix}}{\sqrt{1+4+4}}\)
\(\Rightarrow \begin{vmatrix} -t+1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -t+5 \end{vmatrix}\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - t + 1 = - t + 5\\ - t + 1 = t - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2t = 6 \Leftrightarrow t = 3\)
vậy I(3;-1;-3)
\(d(I,(P))=d(I,(Q))=\frac{2}{3}\)
Mặt cầu có tâm I(3;-1;-3) bán kính \(R=\frac{2}{3}\) có phương trình là \((S): (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z+3)^{2}=\frac{4}{9}\)