Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6), D(5; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
A. \({(x + 5)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)
B. \({(x - 5)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)
C. \({(x + 5)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)
D. \({(x - 5)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)

\(\overrightarrow {AB} =(4;-5;1);\overrightarrow {AC} =(3;-6;4)\)
\([\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -5 \hspace{10pt} 1 \\ -6 \hspace{15pt} 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \hspace{10pt} 4 \\ 4 \hspace{15pt} 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \hspace{15pt} -5 \\ 3 \hspace{15pt} -6 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-14;-13;-9)}\)
Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=-[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ]=(14;13;9)\) đi qua A(1;6;2) nên có phương trình:
\(\\ 14(x-1)+13(y-6)+9(z-2)=0 \\ \Leftrightarrow 14x+13y+9z-110=0\)
\(d(D,(ABC))=\frac{4}{\sqrt{446}}\)
Mặt cầu (S) có tâm D(5;0;4) tiếp xúc (ABC) nên có bán kính R = d(D,(ABC))
vậy phương trình của (S) là: \((S)x-5)^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=\frac{8}{223}\)