Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD biết \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {2;0;1} \right)\), \(D\left( { - 1;0; - 3} \right)\) . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x + \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x - \frac{{31}}{7}y + \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x + \frac{{31}}{7}y - \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x + \frac{{31}}{7}y + \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\)

Phương trình mặt cầu có dạng:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)
Lần lượt thay tọa độ của các điểm của tứ diện đã cho vào phương trình mặt cầu trên ta có hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l} 2a + 2b + d = - 2\\ 2a + 4c + d = - 5\\ 4a + 2c + d = - 5\\ - 2a - 6c + d = - 10 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{5}{{14}}\\ b = \frac{{31}}{{14}}\\ c = \frac{5}{{14}}\\ d = \frac{{ - 50}}{7} \end{array} \right.\)