Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = - \frac{z}{2}\) và hai điểm \(A(2;1;0)\),\(B( - 2;3;2)\) . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d.
A. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5\)
B. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 17\)
C. \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 17\)
D. \({(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2t \end{array} \right.\)
Ta có: \(I \in d \Rightarrow I(1 + 2t;t; - 2t) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AI} = ( - 1 + 2t;t - 1; - 2t)\\ \overrightarrow {BI} = \left( {3 + 2t;t - 3; - 2 - 2t} \right) \end{array} \right.\)
Vì mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B nên:
\(R = IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {( - 1 + 2t)^2} + {(t - 1)^2} + {( - 2t)^2} = {(3 + 2t)^2} + {(t - 3)^2} + {( - 2 - 2t)^2}\\ \Leftrightarrow 20t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I( - 1; - 1;2) \Rightarrow R = IA = \sqrt {17} \end{array}\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 17\).