Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng \((\Delta)\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A\left( {1,3,0} \right)\) và \(B\left( { - 2;1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng \((\Delta)\).
A. \({\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{521}}{{100}}\)
B. \({\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + \left( {z + \frac{3}{5}} \right) = \frac{{25}}{3}\)
C. \({\left( {x - \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + \left( {z - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{521}}{{100}}\)
D. \({\left( {x - \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + \left( {z - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{25}}{3}\)

\(R = I{A^2} = I{B^2}\) và \(I \in d \Rightarrow I\left( { - 1 + 2t;1 + t; - 2t} \right)\)
Vì mặt cầu đi qua A,B nên
\(I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 + t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2}\)
\(= {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {t^2} + {\left( { - 2t - 1} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow t = \frac{3}{{10}} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{5};\frac{{13}}{{10}}; - \frac{3}{5}} \right)\)
\({R^2} = I{A^2} = \frac{{521}}{{100}}\)
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{521}}{{100}}\).