Viết phương trình của mặt cầu (S)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 0,{\rm{ }}\left( Q \right):x - 2y + 3z - 5 = 0.\) Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
B. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{9}{{14}}.\)
C. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
D. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{9}{{14}}.\)

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 3 + t\\ z = 2 + t \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in\mathbb{R} } \right) \Rightarrow I\left( {2t;t + 3;t + 2} \right).\)
Mà: \(I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 2\left( {t + 3} \right) + 2\left( {t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {2;4;3} \right).\)
Gọi R là bán kính của (S) ta có (Q) tiếp xúc với (S).
Suy ra: \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{{\left| {2 - 2.4 + 3.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}.\)
Kết hợp với (S) có tâm I(2;3;4)\(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{{14}} = \frac{2}{7}.\)