Viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\)
A. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1\)
B. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\)
C. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)
D. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\)

Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S) suy ra IA=IB=IC và \(I \in (P) \Rightarrow x + y + z - 2 = 0.\)
Mặt khác \(\overrightarrow {AI} = (x - 2;y;z - 1),\overrightarrow {BI} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {CI} = (x - 1;y - 1;z - 1)\) Nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} I \in (P)\\ IA = IB\\ IA = IC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z - 2 = 0\\ x + z = 2\\ y + z = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 1\\ y = 0\\ z = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I(1;0;1)\)Và \(R = IA = 1.\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)