Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Mặt phẳng (P) chứa A và d. Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P).
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{12}}{5}.\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 6.\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{24}}{5}.\)

Điểm \(M\left( {1;2;0} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 1;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {2;5;1} \right).\)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}\) làm vectơ pháp tuyến là: \(2x + 5y + z - 12 = 0.\)
Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {2.0 + 5.0 + 0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {1^2}} }} = \frac{{12}}{{5\sqrt 6 }}\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{24}}{5}.\)