Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A\left( {1;6;2} \right);B\left( {5;1;3} \right);C\left( {4;0;6} \right);D\left( {5;0;4} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
A. \(\left( S \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{8}{{223}}\)
B. \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{4}{{223}}\)
C. \(\left( S \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{16}}{{223}}\)
D. \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{8}{{223}}\)

Ta có
\(A\left( {1;6;2} \right);{\rm{ }}B\left( {5;1;3} \right);{\rm{ }}C\left( {4;0;6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overline {AB} = \left( {4; - 5;1} \right)}\\ {\overline {AC} = \left( {3; - 6;4} \right)} \end{array} \Rightarrow \left[ {\overline {AB} ;\overline {AC} } \right]} \right.\)
\(= \left( { - 14; - 13; - 9} \right)\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(14\left( {x - 1} \right) + 13\left( {y - 6} \right) + 9\left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(14x + 13y + 9z - 110 = 0\)
\(\Rightarrow d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{4}{{\sqrt {446} }}\)
\(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{8}{{223}}\) là phương trình mặt cầu cần tìm.