A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp $(\alpha ):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ và $(\beta ):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
$(\alpha ){\rm{//}}(\beta )$ <=> $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$
$(\alpha ) \equiv (\beta )$ <=> $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$
(α) cắt (β) <=> $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \vee \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \vee \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$
Đặc biệt: $(\alpha ) \bot (\beta )$ <=> ${A_1}{B_1} + {A_2}{B_2} + {A_3}{B_3} = 0$
2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$ qua M, có VTCP ${\vec a_d}$
$d':\left\{ \begin{array}{l}x = {{x'}_0} + {{a'}_1}t'\\y = {y_0} + {{a'}_2}t'\\z = {z_0} + {{a'}_3}t'\end{array} \right.$ qua N, có VTCP ${\vec a_{d'}}$
Cách 1:
Cách 2:
Xé hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {a_1}t = {{x'}_0} + {{a'}_1}t'\\{y_0} + {a_2}t = {y_0} + {{a'}_2}t'\\{z_0} + {a_3}t = {z_0} + {{a'}_3}t'\end{array} \right.\,\,(*)$
Hệ có nghiệm duy nhất <=> d và d’ cắt nhau
Hệ vô nghiệm <=> d và d’ song song hoặc chéo nhau
Hệ vô số nghiệm <=> d và d’ trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của dvà d’.
Chú ý:
d song song d’ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec a}_d} = k{{\vec a}_{d'}}\\M \notin d'\end{array} \right.$
d trùng d’ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec a}_d} = k{{\vec a}_{d'}}\\M \in d'\end{array} \right.$
d cắt d’ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec a}_d}\,\,cung\,phuong\,\,{{\vec a}_{d'}}\\\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MN} = 0\end{array} \right.$
d chéo d’ <=> $\left[ {{{\vec a}_d},{{\vec a}_{d'}}} \right].\overrightarrow {MN} \ne 0$
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$ và mp $(\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0$
Xé hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}&{(1)}\\{y = {y_0} + {a_2}t}&{(2)}\\{z = {z_0} + {a_3}t}&{(3)}\\{Ax + By + Cz + D = 0}&{(4)}\end{array}} \right.\,\,\,(*)$
(*) có nghiệm duy nhất <=> d cắt (α)
(*) có vô nghiệm <=> d // (α)
(*) vô số nghiệm <=> d ⊂ (α)
4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x--a} \right)^2} + {\left( {y--b} \right)^2} + {\left( {z--c} \right)^2} = {R^2}$ tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ .
Nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R$ thì mp¬ (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
Nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R$ thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
Nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R$ thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\\Ax + By + Cz + D = 0\end{array} \right.$
Trong đó bán kính đường tròn $r = \sqrt {{R^2} - d{{(I,(P))}^2}} $và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm \(I\), bán kính R và đường thẳng ∆.
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và (S) ta tính \(d\left( {I,\Delta } \right)\) rồi so sánh với bán kính R.
\( \star \) \(d\left( {I,\Delta } \right) > R\): ∆ không cắt (S)
\( \star \) \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\): ∆ tiếp xúc với (S).
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆.
\( \star \) \(d\left( {I,\Delta } \right) < R\): ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và \(R = \sqrt {{d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4}} \)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
câu 1. Trong không gian Oxyz, Cho ba mặt phẳng $(\alpha ):x + y + 2z + 1 = 0$; $(\beta ):x + y - z + 2 = 0$; $(\gamma ):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. $(\alpha )//(\gamma )$.
B. Oxyz.
C. \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\).
D. \(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\).
câu 2. Trong không gian \(\left( P \right)//\left( Q \right) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2\), mặt phẳng song song với hai đường thẳng \(m + 2n = 2 + 2\left( { - 1} \right) = 0\) Oxyz có một vec tơ pháp tuyến là
A. .$x - 2y + 3z + - 4 = 0$
B. .$\left( P \right)$
C. d.
D. $\frac{{x - m}}{1} = \frac{{y + 2m}}{3} = \frac{z}{2}$.
câu 3. Trong không gian \(d \cap \left( P \right) = A \in \left( {Oyz} \right) \Rightarrow A\left( {0;\frac{3}{2}a - 2;a} \right)\), cho hai mặt phẳng \(A \in d \Rightarrow 0 - m = \frac{{\frac{3}{2}a - 2 + 2m}}{3} = \frac{a}{2}\)và \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2m\\\frac{3}{2}a - 2 + 2m = - 3m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\m = 1\end{array} \right.\).Tìm Oxyz để $d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$.
A. $d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t}\\{y = - t}\\{z = - 2 + 3t}\end{array}} \right.$.
B. d.
C. d’.
D. $6x + 9y + z + 8 = 0$.
câu 4. Trong không gian $6(x - 1) + 9(y + 2) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0$, cho hai mặt phẳng Oxyz. Xét các mệnh đề sau:
(I) $d:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4}$
(II) $d':\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}$
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.
B. (I) đúng, (II) sai.
C. (I) sai, (II) đúng.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.
câu 5. Trong không gian $\overrightarrow u = (3; - 1;4)$, cho điểm $M( - 7;5;9)$và các mặt phẳng : d’;$\overrightarrow {u'} = (3; - 1;4)$;$M'(0; - 4; - 18)$
A. $\overrightarrow {MM'} = (7; - 9; - 27)$.
B. $\overrightarrow u $.
C. $\overrightarrow {u'} $.
D. ${\rm{[}}\overrightarrow u ;\overrightarrow {MM'} ] \ne 0$quad.
câu 6. Trong không gian $\left( Q \right)$, cho mặt phẳng $2x - 2y + z - 17 = 0$:$2x - 2y + z + 17 = 0$ và đường thẳng $2x - 2y + z + 7 = 0$: $x - y + 2z - 7 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. I\(\left( Q \right)\) $\left( Q \right)$.
B. \(R = 5\)//M.
C. (S)cắt \(I\left( {0; - 2;1} \right)\).
D.(S).
câu 7. Trong không gian $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$, cho mặt phẳng $3$:$y - 2z = 0$và đường thẳng $y + 2z = 0$:$y + 3z = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. $y - 3z = 0$$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$ \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
B. \(R = 3\)$\left( P \right)$ (S).
C. \(r = 3 = R\)cắt \( \Rightarrow I \in \left( P \right)\).
D. \(M\left( {1;0;0} \right) \in Ox \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {0;2;1} \right)\).
câu 8. Trong không gian \(\left( d \right)\), cho mặt phẳng \(\left( d \right)\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\end{array} \right.\):\(AB = 16\) và đường thẳng ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289$:${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 289$. Số giao điểm của đường thẳng ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 17$và mặt phẳng ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 280$ là:
A. Vô số.
B. 1.
C. Không có.
D. 2.
câu 9. Trong không gian ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289.$, tọa độ giao điểm M của đường thẳng Oxyz và mặt phẳng \(d:\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) là
A. $\left( S \right)$.
B. M(4;1;6).
C. AB = 6.
D. .$\left( S \right)$ .
câu 10. Trong không gian ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 18.$, cho mặt phẳng ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 9.$: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.$ và đường thẳng \(d\):\(N( - 5;7;0)\). Với giá trị nào của \(\vec u = (2; - 2;1)\)thì \(\overrightarrow {MN} = ( - 9;6; - 6)\)cắt $H$
A.$\left( S \right)$.
B. $\left( S \right)$ .
C. \({R^2} = M{H^2} + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 18\) .
D. \(d(M,d) = 3\).
câu 11. Trong không gian (P), cho đường thẳng (S) và mặt phẳng \(6\pi \). Tìm m để \(2x + 2y - z + 17 = 0\)
A. 2x + 2y - z - 7 = 0.
B. 2x + 2y - z + 7 = 0.
C. 2x + 2y - z - 19 = 0.
D. (S).
câu 12. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng$\left( P \right)$chứa trục Ox và cắt mặt cầu$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có phương trình là:
A. y - 2z = 0.
B. y + 2z = 0.
C. y + 3z = 0.
D. y - 3z = 0.
câu 13. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng \(\left( d \right)\)có phương trình: \(\left( d \right)\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\end{array} \right.\) tại hai điểm A, B sao cho \(AB = 16\) là:
A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 280$.
B. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 289$.
C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 17$.
D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289$.
câu 14. Trong không gian ∆, cho hai đường thẳng (S) và ${\rm{ }}d':\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. cắt nhau.
D. chéo nhau.
câu 15. Trong không gian (S) , cho hai đường thẳng $\Delta ' < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{{15}}{2}}\\{m < \frac{5}{2}}\end{array}} \right.$ và Oxyz. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
câu 16. Trong không gian ∆, cho hai đường thẳng: (S) và ${(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
câu 17. Hai đường thẳng $m > \frac{{15}}{2}$ và $m < \frac{5}{2}$ có vị trí tương đối là:.
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
câu 19. Trong không gian \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow C\left( {a;a;0} \right) \Rightarrow C'\left( {a;a;b} \right) \Rightarrow M\left( {a;a;\frac{b}{2}} \right)\), cho hai đường thẳng \(\overrightarrow {MB} = \left( {0; - a; - \frac{b}{2}} \right)\) . và . \(\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a;0} \right)\)cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của \(\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - b} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\frac{{ab}}{2};\frac{{ab}}{2}; - {a^2}} \right)\)là
A. \(\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {A'B} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2}; - {a^2}} \right)\).
B. \(\overrightarrow v = \left( {1;1;1} \right)\).
C. \(\left( {A'BD} \right)\).
D. \(\left( {A'BD} \right) \bot \left( {MBD} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \frac{{ab}}{2} + \frac{{ab}}{2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow \frac{a}{b} = 1\).
câu 20. Trong không gian \(BD\), cho mặt cầu \(\overrightarrow {A'X} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; - b} \right)\); và mặt phẳng \(\overrightarrow {MX} = \left( { - \frac{a}{2}; - \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu \( \Rightarrow - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{{{b^2}}}{2} = 0\) có tâm $ \Rightarrow \frac{a}{b} = 1$ bán kính Oxyz.
B. \(\left( {A'BD} \right) \bot \left( {MBD} \right) \Rightarrow A'X \bot MX\)cắt \( \Rightarrow \overrightarrow {A'X} .\overrightarrow {MX} = 0\) theo giao tuyến là đường tròn.
C. Mặt phẳng \((P):\;x + 2y + 2z + 4 = 0\) không cắt mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0.\).
D. Khoảng cách từ tâm của M đến $\left( S \right)$ bằng $d\left( {M,\left( P \right)} \right)$.
câu 21. Trong không gian $H \in (\alpha ) \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( {3--2t} \right) + 5 + t + 15 = 0$, cho đường thẳng \( \Leftrightarrow {\rm{t}} = - 2 \Rightarrow H\left( { - 2;{\rm{ }}7;{\rm{ }}3} \right)\) và và mặt cầu \(\overrightarrow {{\rm{AH}}} = (1;4;6)\): ∆. Số điểm chung của $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{6}$ và Oxyz là:
A. 0.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
câu 22. Trong không gian I, cho mặt cầu (P). Phương trình mặt phẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) tiếp xúc với \(M \in (d) \Rightarrow M(3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t)\) tại điểm \(M \in (S)\) là:
A. \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{29}}{3}; - \frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\\t = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\end{array} \right.\).
B. \(d({M_1},(P)) > d({M_2},(P))\).
C. \(M\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
D. Oxyz.
câu 23. Trong không gian $\overrightarrow u = \left( {1;\,2;1} \right)$, ho mặt cầu $\overrightarrow {MI} = \left( {0; - 1;2} \right)$, mặt phẳng $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right)$. Giá trị của $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 5 $ để mặt phẳng $IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}$ cắt mặt cầu \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\).
A. \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x = 2\\y = t\end{array}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\).
B. Oxyz.
C. \((S):\;{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z + 5 = 0.\).
D. $\left( S \right)$.
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp $(\alpha ):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ và $(\beta ):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
$(\alpha ){\rm{//}}(\beta )$ <=> $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$
$(\alpha ) \equiv (\beta )$ <=> $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$
(α) cắt (β) <=> $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \vee \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \vee \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$
Đặc biệt: $(\alpha ) \bot (\beta )$ <=> ${A_1}{B_1} + {A_2}{B_2} + {A_3}{B_3} = 0$
2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$ qua M, có VTCP ${\vec a_d}$
$d':\left\{ \begin{array}{l}x = {{x'}_0} + {{a'}_1}t'\\y = {y_0} + {{a'}_2}t'\\z = {z_0} + {{a'}_3}t'\end{array} \right.$ qua N, có VTCP ${\vec a_{d'}}$
Cách 1:
Xé hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {a_1}t = {{x'}_0} + {{a'}_1}t'\\{y_0} + {a_2}t = {y_0} + {{a'}_2}t'\\{z_0} + {a_3}t = {z_0} + {{a'}_3}t'\end{array} \right.\,\,(*)$
Hệ có nghiệm duy nhất <=> d và d’ cắt nhau
Hệ vô nghiệm <=> d và d’ song song hoặc chéo nhau
Hệ vô số nghiệm <=> d và d’ trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của dvà d’.
Chú ý:
d song song d’ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec a}_d} = k{{\vec a}_{d'}}\\M \notin d'\end{array} \right.$
d trùng d’ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec a}_d} = k{{\vec a}_{d'}}\\M \in d'\end{array} \right.$
d cắt d’ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec a}_d}\,\,cung\,phuong\,\,{{\vec a}_{d'}}\\\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MN} = 0\end{array} \right.$
d chéo d’ <=> $\left[ {{{\vec a}_d},{{\vec a}_{d'}}} \right].\overrightarrow {MN} \ne 0$
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$ và mp $(\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0$
Xé hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}&{(1)}\\{y = {y_0} + {a_2}t}&{(2)}\\{z = {z_0} + {a_3}t}&{(3)}\\{Ax + By + Cz + D = 0}&{(4)}\end{array}} \right.\,\,\,(*)$
(*) có nghiệm duy nhất <=> d cắt (α)
(*) có vô nghiệm <=> d // (α)
(*) vô số nghiệm <=> d ⊂ (α)
4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x--a} \right)^2} + {\left( {y--b} \right)^2} + {\left( {z--c} \right)^2} = {R^2}$ tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ .
Nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R$ thì mp¬ (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
Nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R$ thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
Nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R$ thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\\Ax + By + Cz + D = 0\end{array} \right.$
Trong đó bán kính đường tròn $r = \sqrt {{R^2} - d{{(I,(P))}^2}} $và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm \(I\), bán kính R và đường thẳng ∆.
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và (S) ta tính \(d\left( {I,\Delta } \right)\) rồi so sánh với bán kính R.
\( \star \) \(d\left( {I,\Delta } \right) > R\): ∆ không cắt (S)
\( \star \) \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\): ∆ tiếp xúc với (S).
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆.
\( \star \) \(d\left( {I,\Delta } \right) < R\): ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và \(R = \sqrt {{d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4}} \)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
câu 1. Trong không gian Oxyz, Cho ba mặt phẳng $(\alpha ):x + y + 2z + 1 = 0$; $(\beta ):x + y - z + 2 = 0$; $(\gamma ):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. $(\alpha )//(\gamma )$.
B. Oxyz.
C. \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\).
D. \(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\).
\(\left( R \right): - x + 2y + nz = 0\) có VTPT m + 2n
\(\left( P \right) \bot \left( R \right)\) có VTPT \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)
\( - 6\) có VTPT \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\)
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right)\) \(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;m;2} \right)\) không song song nhau
Ta có \(\left( R \right): - x + 2y + nz = 0\)
Ta có \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2;n} \right)\)
Ta có \(\left( P \right) \bot \left( R \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0 \Leftrightarrow n = - 1\)
Do đó chọn đáp án A.
\(\left( P \right) \bot \left( R \right)\) có VTPT \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)
\( - 6\) có VTPT \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\)
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right)\) \(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;m;2} \right)\) không song song nhau
Ta có \(\left( R \right): - x + 2y + nz = 0\)
Ta có \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2;n} \right)\)
Ta có \(\left( P \right) \bot \left( R \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0 \Leftrightarrow n = - 1\)
Do đó chọn đáp án A.
A. .$x - 2y + 3z + - 4 = 0$
B. .$\left( P \right)$
C. d.
D. $\frac{{x - m}}{1} = \frac{{y + 2m}}{3} = \frac{z}{2}$.
M có một VTCP là d,
$\left( P \right)$ có một VTCP là $\left( {Oyz} \right)$.
Do $m = 1$ song song với \(m = - 1\) nên $m = \frac{4}{5}$ có một VTPT là $m = \frac{{12}}{{17}}$
Do đó chọn đáp án
B.
$\left( P \right)$ có một VTCP là $\left( {Oyz} \right)$.
Do $m = 1$ song song với \(m = - 1\) nên $m = \frac{4}{5}$ có một VTPT là $m = \frac{{12}}{{17}}$
Do đó chọn đáp án
B.
A. $d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t}\\{y = - t}\\{z = - 2 + 3t}\end{array}} \right.$.
B. d.
C. d’.
D. $6x + 9y + z + 8 = 0$.
$6x + 9y + z - 8 = 0$ có VTPT$ - 2x + y + 3z - 8 = 0$
$6x - 9y - z - 8 = 0$ có VTPT d
$\overrightarrow u = ( - 2;1;3)$ //$M(1; - 2;4)$
Chọn đáp án A.
$6x - 9y - z - 8 = 0$ có VTPT d
$\overrightarrow u = ( - 2;1;3)$ //$M(1; - 2;4)$
Chọn đáp án A.
(I) $d:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4}$
(II) $d':\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}$
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.
B. (I) đúng, (II) sai.
C. (I) sai, (II) đúng.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.
d có VTPT d’
63x + 109y - 20z + 76 = 0 đúng
63x - 109y + 20z + 76 = 0 có VTCP 63x + 109y + 20z + 76 = 0 cũng là VTPT của 63x - 109y - 20z - 76 = 0
Chọn đáp án A.
63x + 109y - 20z + 76 = 0 đúng
63x - 109y + 20z + 76 = 0 có VTCP 63x + 109y + 20z + 76 = 0 cũng là VTPT của 63x - 109y - 20z - 76 = 0
Chọn đáp án A.
A. $\overrightarrow {MM'} = (7; - 9; - 27)$.
B. $\overrightarrow u $.
C. $\overrightarrow {u'} $.
D. ${\rm{[}}\overrightarrow u ;\overrightarrow {MM'} ] \ne 0$quad.
d’ có VTPT d
d’ có VTPT $M( - 7;5;9)$
$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {63;109; - 20} \right)$ có VTPT $63(x + 7) + 109(y - 5) - 20(z - 9) = 0$
A sai vì $ \Leftrightarrow $ có VTCP $63x + 109y - 20z + 76 = 0$ và Oxyz
B sai vì $\left( Q \right)$ sai vì \(\left( P \right):2x - 2y + z + 7 = 0\)
D sai vì thay tọa độ điểm $\left( Q \right)$ vào $\left( S \right)$ ta thấy không thỏa mãn nên ${x^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$.
C đúng vì ta có r = 3.
d’ có VTPT $M( - 7;5;9)$
$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {63;109; - 20} \right)$ có VTPT $63(x + 7) + 109(y - 5) - 20(z - 9) = 0$
A sai vì $ \Leftrightarrow $ có VTCP $63x + 109y - 20z + 76 = 0$ và Oxyz
B sai vì $\left( Q \right)$ sai vì \(\left( P \right):2x - 2y + z + 7 = 0\)
D sai vì thay tọa độ điểm $\left( Q \right)$ vào $\left( S \right)$ ta thấy không thỏa mãn nên ${x^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$.
C đúng vì ta có r = 3.
A. I\(\left( Q \right)\) $\left( Q \right)$.
B. \(R = 5\)//M.
C. (S)cắt \(I\left( {0; - 2;1} \right)\).
D.(S).
$r = 3$ có VTPT \( \Rightarrow IM = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
\(\left( Q \right)\) có VTCP \(\left( P \right):2x - 2y + z + 7 = 0 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\left( {m \ne 7} \right)\)
\(d\left[ {I;\left( Q \right)} \right] = \frac{{\left| {2.0 - 2.\left( { - 2} \right) + 1.1 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = IM = 4\) không song song với \( \Leftrightarrow \left| {m + 5} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 17\end{array} \right.\) và \(\left( Q \right):2x - 2y + z - 17 = 0\)
Oxyz $\left( P \right)$ không vuông góc $Ox$
Chọn đáp án A.
\(\left( Q \right)\) có VTCP \(\left( P \right):2x - 2y + z + 7 = 0 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\left( {m \ne 7} \right)\)
\(d\left[ {I;\left( Q \right)} \right] = \frac{{\left| {2.0 - 2.\left( { - 2} \right) + 1.1 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = IM = 4\) không song song với \( \Leftrightarrow \left| {m + 5} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 17\end{array} \right.\) và \(\left( Q \right):2x - 2y + z - 17 = 0\)
Oxyz $\left( P \right)$ không vuông góc $Ox$
Chọn đáp án A.
A. $y - 3z = 0$$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$ \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
B. \(R = 3\)$\left( P \right)$ (S).
C. \(r = 3 = R\)cắt \( \Rightarrow I \in \left( P \right)\).
D. \(M\left( {1;0;0} \right) \in Ox \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {0;2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {IM} } \right] = \left( {0; - 1;2} \right)\) có VTPT \(\left( P \right)\)
\(O\left( {0;0;0} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow n = \left( {0; - 1;2} \right) \Rightarrow \left( P \right):y - 2z = 0\)
Ta có Oxyz
Chọn đáp án A.
\(O\left( {0;0;0} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow n = \left( {0; - 1;2} \right) \Rightarrow \left( P \right):y - 2z = 0\)
Ta có Oxyz
Chọn đáp án A.
A. Vô số.
B. 1.
C. Không có.
D. 2.
\(\left( d \right)\) có VTPT $M\left( {11;{\rm{ }}0; - 25} \right)$
$\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$ có VTCP $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\,$
Ta có $R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17$
Chọn đáp án A.
$\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$ có VTCP $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\,$
Ta có $R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17$
Chọn đáp án A.
A. $\left( S \right)$.
B. M(4;1;6).
C. AB = 6.
D. .$\left( S \right)$ .
Giải hệ ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18.$. Vậy chọn đán án A.
A.$\left( S \right)$.
B. $\left( S \right)$ .
C. \({R^2} = M{H^2} + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 18\) .
D. \(d(M,d) = 3\).
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18.$ có VTPT Oxyz
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có VTCP (P)
\(2x + 2y - z - 7 = 0\)cắt (Q)
Chọn đáp án A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có VTCP (P)
\(2x + 2y - z - 7 = 0\)cắt (Q)
Chọn đáp án A.
A. 2x + 2y - z - 7 = 0.
B. 2x + 2y - z + 7 = 0.
C. 2x + 2y - z - 19 = 0.
D. (S).
Ta có \(I(1; - 2;3)\)đi qua \(R = 5\)và có VTCP \((Q)//(P) \Rightarrow (Q):2x + 2y - z + D = 0\;(D \ne - 7)\)
Và \(2\pi .r = 6\pi \Leftrightarrow r = 3 \Rightarrow d(I,(Q)) = d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\) có VTPT $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2( - 2) - 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 5 + D} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{D = - 7}\\{D = 17}\end{array}} \right.$
Để (Q) song song với \(2x + 2y - z + 17 = 0\)thì
Oxyz $\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$$(S):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$M
Và \(2\pi .r = 6\pi \Leftrightarrow r = 3 \Rightarrow d(I,(Q)) = d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\) có VTPT $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2( - 2) - 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 5 + D} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{D = - 7}\\{D = 17}\end{array}} \right.$
Để (Q) song song với \(2x + 2y - z + 17 = 0\)thì
Oxyz $\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$$(S):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$M
A. y - 2z = 0.
B. y + 2z = 0.
C. y + 3z = 0.
D. y - 3z = 0.
$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$ có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\)
$\left( P \right)$ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r = 3 = R\)
\( \Rightarrow I \in \left( P \right)\)
Chọn điểm \(M\left( {1;0;0} \right) \in Ox \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {0;2;1} \right)\)
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {IM} } \right] = \left( {0; - 1;2} \right)\)
\(\left( P \right)\) qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {0; - 1;2} \right) \Rightarrow \left( P \right):y - 2z = 0\)
Chọn đáp án A.
$\left( P \right)$ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r = 3 = R\)
\( \Rightarrow I \in \left( P \right)\)
Chọn điểm \(M\left( {1;0;0} \right) \in Ox \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {0;2;1} \right)\)
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {IM} } \right] = \left( {0; - 1;2} \right)\)
\(\left( P \right)\) qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {0; - 1;2} \right) \Rightarrow \left( P \right):y - 2z = 0\)
Chọn đáp án A.
A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 280$.
B. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 289$.
C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 17$.
D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289$.
Đường thẳng\(\left( d \right)\)đi qua $M\left( {11;{\rm{ }}0; - 25} \right)$và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có: $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\,$$R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17$.
Vậy phương trình mặt cầu: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289.$
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có: $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\,$$R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17$.
Vậy phương trình mặt cầu: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289.$
A. song song.
B. trùng nhau.
C. cắt nhau.
D. chéo nhau.
$m > \frac{{15}}{2}$có VTCP $m < \frac{5}{2}$và đi qua $m = \frac{{15}}{2}$
$m = \frac{5}{2}$có VTCP $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$và đi qua $m \in \mathbb{R}$
Từ đó ta có ∆ và (S)
Lại có ${(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1$
Suy ra $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$ cắt ∆
$m = \frac{5}{2}$có VTCP $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$và đi qua $m \in \mathbb{R}$
Từ đó ta có ∆ và (S)
Lại có ${(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1$
Suy ra $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$ cắt ∆
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
$(S):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$có VTCP $\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$và đi qua M
∆có VTCP (S) và đi qua $m = \frac{{15}}{2}$
Từ đó ta có
$m = \frac{5}{2}$và $m > \frac{{15}}{2}$
Lại có $m < \frac{5}{2}$
Suy ra $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$ chéo nhau với $m \in \mathbb{R}$.
∆có VTCP (S) và đi qua $m = \frac{{15}}{2}$
Từ đó ta có
$m = \frac{5}{2}$và $m > \frac{{15}}{2}$
Lại có $m < \frac{5}{2}$
Suy ra $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$ chéo nhau với $m \in \mathbb{R}$.
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$có VTCP ∆và đi qua (S)
$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{{15}}{2}}\\{m = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.$có VTCP Oxyzvà đi qua ${(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$
Từ đó ta có
$\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$và M
Lại có ∆
Suy ra (S) song song với $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$.
$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{{15}}{2}}\\{m = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.$có VTCP Oxyzvà đi qua ${(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$
Từ đó ta có
$\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$và M
Lại có ∆
Suy ra (S) song song với $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$.
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
$m = \frac{{15}}{2}$có VTCP $m = \frac{5}{2}$và đi qua $m \in \mathbb{R}$
∆có VTCP (S) và đi qua ${(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1$
Từ đó ta có $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$
Suy ra ∆ và (S)
Suy ra $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$ trùng với Oxyz.
∆có VTCP (S) và đi qua ${(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1$
Từ đó ta có $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$
Suy ra ∆ và (S)
Suy ra $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$ trùng với Oxyz.
A. \(\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {A'B} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2}; - {a^2}} \right)\).
B. \(\overrightarrow v = \left( {1;1;1} \right)\).
C. \(\left( {A'BD} \right)\).
D. \(\left( {A'BD} \right) \bot \left( {MBD} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \frac{{ab}}{2} + \frac{{ab}}{2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow \frac{a}{b} = 1\).
\(AB = AD = BC = CD = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B = A'D\\MB = MD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'X \bot BD\\MX \bot BD\end{array} \right.\)
Từ đó suy ra giao điểm \(X\) của \(BD\) và \( \Rightarrow \left[ {\widehat {\left( {A'BD} \right);\left( {MBD} \right)}} \right] = \left( {\widehat {A'X;MX}} \right)\) là \(X\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\)
Từ đó suy ra giao điểm \(X\) của \(BD\) và \( \Rightarrow \left[ {\widehat {\left( {A'BD} \right);\left( {MBD} \right)}} \right] = \left( {\widehat {A'X;MX}} \right)\) là \(X\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu \( \Rightarrow - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{{{b^2}}}{2} = 0\) có tâm $ \Rightarrow \frac{a}{b} = 1$ bán kính Oxyz.
B. \(\left( {A'BD} \right) \bot \left( {MBD} \right) \Rightarrow A'X \bot MX\)cắt \( \Rightarrow \overrightarrow {A'X} .\overrightarrow {MX} = 0\) theo giao tuyến là đường tròn.
C. Mặt phẳng \((P):\;x + 2y + 2z + 4 = 0\) không cắt mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0.\).
D. Khoảng cách từ tâm của M đến $\left( S \right)$ bằng $d\left( {M,\left( P \right)} \right)$.
$\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$ có tâm $\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$ và bán kính \(\left( {1; - 2;1} \right)\)
\(d(M,(P)) = 3 > R = 2 \Rightarrow (P) \cap (S) = \emptyset .\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}.\) cắt $A\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án A.
\(d(M,(P)) = 3 > R = 2 \Rightarrow (P) \cap (S) = \emptyset .\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}.\) cắt $A\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án A.
A. 0.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Đường thẳng $A\left( { - 3;3; - 3} \right)$ đi qua \(\left( \alpha \right):2x--2y + z + 15 = 0\)và có VTCP \(\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100\)
Mặt cầu ∆có tâm \(\left( \alpha \right)\) và bán kính R=2
Ta có (S) và AB
Vì AB nên ∆ không cắt mặt cầu $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$
Mặt cầu ∆có tâm \(\left( \alpha \right)\) và bán kính R=2
Ta có (S) và AB
Vì AB nên ∆ không cắt mặt cầu $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$
A. \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{29}}{3}; - \frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\\t = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\end{array} \right.\).
B. \(d({M_1},(P)) > d({M_2},(P))\).
C. \(M\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
D. Oxyz.
\(I\left( {1;0;0} \right)\) tiếp xúc với \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) tại điểm $\left( S \right)$ qua \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\) và có VTPT \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\) với \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}\) là tâm của mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}\)
Ta có $\left( \Delta \right)$
$M = \left( {1;\,1;\, - 2} \right)$
Chọn đáp án A.
Ta có $\left( \Delta \right)$
$M = \left( {1;\,1;\, - 2} \right)$
Chọn đáp án A.
A. \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x = 2\\y = t\end{array}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\).
B. Oxyz.
C. \((S):\;{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z + 5 = 0.\).
D. $\left( S \right)$.
$d\left( {M,d} \right)$ có tâm $(0;2; - 1)$ và bán kính $(2;2; - 1)$
\(\left( {1;2; - 1} \right)\) cắt mặt cầu \(\left( { - 3; - 2;1} \right)\)
\(d(I,d) = 1 = R\)
Chọn đáp án A.
\(\left( {1;2; - 1} \right)\) cắt mặt cầu \(\left( { - 3; - 2;1} \right)\)
\(d(I,d) = 1 = R\)
Chọn đáp án A.
Sửa lần cuối: