Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right)\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right)\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 7.\) Biết diện tích elip (E) gấp 7 lần diện tích hình tròn (C). Tính tích ab.
A. \(ab=7\)
B. \(ab=7\sqrt{7}\)
C. \(ab=\sqrt{7}\)
D. \(ab=49\)

.\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right) \Rightarrow y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}}\)
Diện tích (E) là: \({S_{\left( E \right)}} = 4\int\limits_0^a {\frac{{b\sqrt {{a^2} - {x^2}} {\rm{d}}x}}{a}} = 4\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} {\rm{d}}x}\)
Đặt \(x = a\sin {\rm{t}},\,\,{\rm{t}} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow {\rm{d}}x = a\cos {\rm{tdt}}\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow {\rm{t}} = 0;\,x = a \Rightarrow {\rm{t}} = \frac{\pi }{2}\)
\({S_{\left( E \right)}} = 4\frac{b}{a}\int\limits_0^a {{{\rm{a}}^2}{\rm{.co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{tdt}}} = 2ab\int\limits_0^a {\left( {{\rm{1 + cos2t}}} \right){\rm{dt}}} = \pi ab\)
Mà ta có \({S_{\left( C \right)}} = \pi .{R^2} = 7\pi .\)
Theo giả thiết ta có \({S_{\left( E \right)}} = 7.{S_{\left( C \right)}} \Leftrightarrow \pi ab = 49\pi \Leftrightarrow ab = 49.\)