Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): \(2{\rm{x}}

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): \(2{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} + 2 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
A. \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 1\)
B. \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\)
C. \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4\)
D. \({\left( {x - \frac{{268}}{{37}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{40}}{{37}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{24}}{{37}}} \right)^2} = \frac{{5929}}{{1369}}\)

Gọi I là tâm của (S). I thuộc d suy ra \(I(1 + 3t; - 1 + t;t)\)
Bán kính R = IA = \(\sqrt {11{t^2} - 2t + 1}\).
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: \(d(I,(P)) = \frac{{\left| {5t + 3} \right|}}{3} = R\)
\(\Leftrightarrow 37{t^2} - 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0 \Rightarrow R = 1\\ t = \frac{{24}}{{37}} \Rightarrow R = \frac{{77}}{{37}} \end{array} \right.\)
Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).
Vậy phương trình mặt cầu (S): \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\).